マルチンゲール

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、各 $X_k$ は $\{1,2,3,4,5,6\}$ 上の一様分布に従う（公正なさいころの出た目）とする。
$$S_0=0,S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n(n\ge 1)$$
とおき、${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$、${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)$ $(n\ge 1)$ とする。実数の定数 $a,b$ に対して
$$M_n=(S_n-an{)}^2-bn(n\ge 0)$$
と定める。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ がフィルトレーション $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $a,b$ の組を求め、$(a,b)$ の形で答えよ。

袋の中に、はじめ赤玉 $2$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。次の操作をくり返す。

「袋から玉を $1$ 個無作為に取り出し、その色を確認して袋に戻し、さらに取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に加える。」

$n$ 回の操作を終えた時点（$n=0,1,2,\dots$）で袋の中にある赤玉の個数を $R_n$ とし（$R_0=2$）、${\mathcal{F}}_n=\sigma (R_0,R_1,\dots ,R_n)$ とする。$\beta$ を正の実数の定数として
$$M_n=\frac{R_n}{n+\beta }(n=0,1,2,\dots )$$
と定める。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ がフィルトレーション $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $\beta$ の値を求めよ。

袋の中に、はじめ赤玉が $2$ 個、青玉が $3$ 個入っている。次の操作を繰り返す。

「袋から玉を $1$ 個、無作為に取り出し、その玉を袋に戻す。さらに、取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個、袋に加える。」

各回の取り出しでは、そのとき袋に入っている玉はどれも同様に確からしく取り出されるものとする。$n$ 回の操作を終えたときの赤玉の個数を $R_n$ とする（$R_0=2$）。${\mathcal{F}}_n=\sigma (R_0,R_1,\dots ,R_n)$ とおく。

$c$ を正の実数の定数とし、
$$M_n=\frac{R_n}{n+c}(n=0,1,2,\dots )$$
とおく。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ が $({\mathcal{F}}_n)$ に関するマルチンゲールとなるような $c$ の値を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{1}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{3}$$
を満たすものとする。$X_0=2$、$X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。これは、所持金 $2$ 円のギャンブラーが、勝つ確率 $\frac{1}{3}$ で $1$ 円を得て、負ける確率 $\frac{2}{3}$ で $1$ 円を失う賭けを繰り返すときの、$n$ 回後の所持金を表す。

$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=0\text{または}{X}_n=5\}$$
とする。つまり、所持金が $0$ 円になるか $5$ 円になった時点で賭けをやめる。賭けをやめるまでの回数の期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{3}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{5}$$ を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とし、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$（${\mathcal{F}}_0$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=4\}$$ を考える（$\inf \varnothing =\infty$）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{3}{5}$$ を満たすものとする。所持金の推移を $X_0=2$, $X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ で表し、フィルトレーションは ${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$, ${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ とする。停止時刻を $$\tau =\inf \{n\ge 0:X_n\in \{0,5\}\}$$ と定める。$M_n={\left(\frac{3}{2}\right)}^{X_n}$ がマルチンゲールであることと任意停止定理を用いて、所持金が $0$ になる前に $5$ に達する確率 $P(X_{\tau }=5)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$X_t=2W_t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (-1,3)\}$$
とする（$X$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $X_t$ を
$$X_t=1+2W_t(t\ge 0)$$
で定め、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (0,4)\}$$
とおく（$X$ が初めて $0$ または $4$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（通常の条件を満たすように完備化したもの）とする。実数の定数 $a,b$ に対して
$$X_t=W_t^4+at{W}_t^2+b{t}^2(t\ge 0)$$
とおく。$(X_t{)}_{t\ge 0}$ が $({\mathcal{F}}_t)$ に関するマルチンゲールとなるような組 $(a,b)$ を求めよ。答えは $(a,b)$ の順の組で答えよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{3}$$
を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$（$n\ge 1$）とおき、
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=4\text{または}{S}_n=-2\}$$
と定める。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$a,b$ を正の整数とする。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-a\text{または}{S}_n=b\}$$
とする。$S_T=b$ という条件のもとでの $T$ の条件付き期待値 $E[T\mid S_T=b]$ を $a,b$ の式で求めよ。

$\frac{1}{2}<p<1$ とし、$q=1-p$, $\mu =p-q=2p-1$ とおく。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数列で $P({\xi }_i=1)=p$, $P({\xi }_i=-1)=q$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。${\mathcal{F}}_0$ を自明な $\sigma$-加法族、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)(n\ge 1)$ とする。正の整数 $b$ を固定し、
$$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=b\}(\inf \varnothing =\infty )$$
とおく。$\tau <\infty$ のとき、$b$ に到達するまでの経路の「面積」を
$$A=\sum _{k=0}^{\tau -1}{S}_k$$
で定める。このとき $\tau <\infty$ a.s. であり、$A$ は可積分で
$$E[A]=\frac{b(b\mu -1)}{2{\mu }^2}$$
であることを証明せよ。

なお、$({\mathcal{F}}_n)$-マルチンゲール $(M_n)$ と $({\mathcal{F}}_n)$-停止時刻 $\sigma$ に対して、各 $n\ge 0$ で $E[M_{\sigma \wedge n}]=E[M_0]$ が成り立つこと（有界な停止時刻に対する任意抽出定理）、マルコフの不等式、単調収束定理（項別積分を含む）、優収束定理は用いてよい。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\mu >0$, $a>0$ に対して $X_t=B_t-\mu t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。次の事実は用いてよい。

• $\tau$ は $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻である。
• 連続な $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $\sigma$ に対して $E[M_{\sigma }]=E[M_0]$（任意抽出定理）。
• $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{B_t}{t}=0$ a.s.

このとき
$$P\left(\underset{t\ge 0}{\sup }{X}_t\ge a\right)=P(\tau <\infty )=e^{-2\mu a}$$
であることを証明せよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとする。$S_0=0$、$S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおき、停止時刻
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=5\}$$
を定める（フィルトレーションは $({\xi }_k)$ の生成する自然なものとする）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数とし、それぞれ文字 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ のいずれかの値をとり、$$P(X_k=\mathrm{A})=\frac{1}{2},P(X_k=\mathrm{B})=\frac{1}{3},P(X_k=\mathrm{C})=\frac{1}{6}$$ を満たすものとする。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 5:(X_{n-4},X_{n-3},X_{n-2},X_{n-1},X_n)=(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B})\}$$ を定める（文字列 $\mathrm{ABCAB}$ が初めて現れ終わる時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-3\text{または}{S}_n=4\}$$
に対して、$E[T^2]$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動（標本路は連続）とし、その自然なフィルトレーションを考える。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:B_t\notin (-1,2)\}$$
を定める（$B_t$ が初めて $-1$ または $2$ に到達する時刻）。$E\left[{\tau }^2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,3)\}$$
とおき（$W$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）、$\lambda =\frac{(\log 2{)}^2}{2}$ とする。このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }{1}_{\{W_{\tau }=-1\}}\right]$$
を求めよ。ただし $1_A$ は事象 $A$ の定義関数である。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{4},P({\xi }_k=0)=\frac{1}{2}$$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=3\}$$ を考える（$\tau <\infty$ が確率 $1$ で成り立つ）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。