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確率論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学確率論

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で $P (ξ_{k} = 1) = P (ξ_{k} = - 1) = \frac{1}{2}$ を満たすものとし、 $S_{0} = 0$ , $S_{n} = ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ $(n \geq 1)$ とおく。停止時刻
$T = min {n \geq 0 : S_{n} = - 3 または S_{n} = 4}$
に対して、 $E [T^{2}]$ を求めよ。

この問題で使うもの

マルチンゲール（説明と入口の問題）
任意停止定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S_{n}$ の多項式と $n$ を組み合わせたマルチンゲールを次数ごとに作り、任意抽出定理を使いましょう。 $T^{2}$ を出すには 4 次のものが必要です。

ヒント 2

$S_{n}^{3} - 3 n S_{n}$ と $S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n$ はマルチンゲールです。4 次の式から $E [T^{2}]$ を出すには $E [T S_{T}^{2}]$ が必要になります。

ヒント 3

$P (S_{T} = 4) = \frac{3}{7}$ , $E [T] = 12$ , $E [T S_{T}] = 4$ です。 $E [T; S_{T} = 4]$ と $E [T; S_{T} = - 3]$ を未知数として連立方程式を立て、 $E [T S_{T}^{2}]$ を求めましょう。

答えと解説

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236

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解説を読む

$F_{n} = σ (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ とする。

準備（可積分性）. どの位置からでも 7 歩続けて $+ 1$ が出れば区間 $(- 3, 4)$ を出るので、 $P (T > 7 k) \leq (1 - 2^{- 7})^{k}$ である。よって $T$ はすべての次数のモーメントをもつ。また $n < T$ では $∣ S_{n} ∣ \leq 3$ 、 $∣ S_{T} ∣ \leq 4$ なので、以下に現れる $M_{n \land T}$ は $C (1 + T^{2})$ の形の可積分な確率変数で抑えられ、優収束定理により $E [M_{T}] = E [M_{0}]$ （任意抽出定理）が使える。

使うマルチンゲール. $ξ^{2} = 1$ , $E [ξ] = E [ξ^{3}] = 0$ を使って $E [M_{n + 1} - M_{n} ∣ F_{n}] = 0$ を確かめると、次はすべてマルチンゲールである。
$S_{n}, S_{n}^{2} - n, S_{n}^{3} - 3 n S_{n}, S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n .$
（最後のものは $E [(S + ξ)^{4} - S^{4}] = 6 S^{2} + 1$ 、 $E [- 6 (n + 1) (S + ξ)^{2} + 6 n S^{2}] = - 6 S^{2} - 6 (n + 1)$ 、 $3 (n + 1)^{2} + 2 (n + 1) - 3 n^{2} - 2 n = 6 n + 5$ の和が $0$ になることから。）

(1) 到達確率と $E [T]$ . $p = P (S_{T} = 4)$ とすると $E [S_{T}] = 0$ より $4 p - 3 (1 - p) = 0$ 、 $p = \frac{3}{7}$ 。 $E [S_{T}^{2}] = E [T]$ より
$E [T] = 16 \cdot \frac{3}{7} + 9 \cdot \frac{4}{7} = \frac{84}{7} = 12.$

(2) $E [T S_{T}]$ . $E [S_{T}^{3}] = 3 E [T S_{T}]$ で、 $E [S_{T}^{3}] = 64 \cdot \frac{3}{7} - 27 \cdot \frac{4}{7} = \frac{84}{7} = 12$ より $E [T S_{T}] = 4$ 。

(3) $E [T S_{T}^{2}]$ . $u = E [T; S_{T} = 4]$ , $v = E [T; S_{T} = - 3]$ とおくと、(1), (2) より
$u + v = 12, 4 u - 3 v = 4.$
これを解いて $u = \frac{40}{7}$ , $v = \frac{44}{7}$ 。よって
$E [T S_{T}^{2}] = 16 u + 9 v = \frac{640 + 396}{7} = 148.$

(4) $E [T^{2}]$ . $E [S_{T}^{4}] = 256 \cdot \frac{3}{7} + 81 \cdot \frac{4}{7} = \frac{1092}{7} = 156$ 。4 次のマルチンゲールに任意抽出定理を使うと
$E [S_{T}^{4}] - 6 E [T S_{T}^{2}] + 3 E [T^{2}] + 2 E [T] = 0$
なので
$3 E [T^{2}] = 6 \cdot 148 - 156 - 2 \cdot 12 = 708, E [T^{2}] = 236.$

（一般に出口が $- a, b$ のとき $E [T^{2}] = \frac{ab ( a ^{2} + 3 ab + b ^{2} - 2 )}{3}$ となり、 $a = 3, b = 4$ で $236$ 。 $a = b = 1$ なら $T = 1$ で $1$ となり整合する。）

別解

$a = 3, b = 4$ とする（区間 $(- a, b)$ からの脱出時刻）。 $T$ は可積分で、 $S_{n}^{2} - n$ がマルチンゲールなので $E [T] = E [S_{T}^{2}] = ab = 12$ 。また $P (S_{T} = 4) = \frac{3}{7}$ 、 $P (S_{T} = - 3) = \frac{4}{7}$ 。
$M_{n} = S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n$ はマルチンゲールである（ $E [(S + ξ)^{4}] = S^{4} + 6 S^{2} + 1$ を使って確認できる）。任意停止定理（ $T$ は指数的な裾をもつので適用可）より
$E [S_{T}^{4}] - 6 E [T S_{T}^{2}] + 3 E [T^{2}] + 2 E [T] = 0$ 。
$E [S_{T}^{4}] = 81 \cdot \frac{4}{7} + 256 \cdot \frac{3}{7} = \frac{1092}{7} = 156$ 。
$u (x) = E_{x} [T S_{T}^{2}]$ を求める。1 歩進めると $T = 1 + T^{'}$ なので $u (x) = \frac{1}{2} (u (x + 1) + u (x - 1)) + p (x)$ 、ここで $p (x) = E_{x} [S_{T}^{2}] = 9 \cdot \frac{4 - x}{7} + 16 \cdot \frac{x + 3}{7} = 12 + x$ 。境界条件 $u (- 3) = u (4) = 0$ 。
$u (x + 1) + u (x - 1) - 2 u (x) = - 2 (12 + x)$ の特殊解は $- \frac{x ^{3}}{3} - 12 x^{2}$ 。一般解は $u = - \frac{x ^{3}}{3} - 12 x^{2} + c + d x$ 。境界条件から $c - 3 d = 99$ 、 $c + 4 d = \frac{640}{3}$ より $d = \frac{49}{3}$ 、 $c = 148$ 。よって $E [T S_{T}^{2}] = u (0) = 148$ 。
代入: $156 - 6 \cdot 148 + 3 E [T^{2}] + 24 = 0$ より $3 E [T^{2}] = 888 - 180 = 708$ 、 $E [T^{2}] = 236$ 。
検算: 対称ランダムウォークの脱出時刻の分散の公式 $Var (T) = \frac{ab ( a ^{2} + b ^{2} - 2 )}{3} = \frac{12 \cdot 23}{3} = 92$ より $E [T^{2}] = 1 2^{2} + 92 = 236$ で一致。

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