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確率論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学確率論

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、 $P (ξ_{k} = 1) = P (ξ_{k} = - 1) = \frac{1}{2}$ を満たすものとする。 $S_{0} = 0$ 、 $S_{n} = ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ $(n \geq 1)$ とおき、停止時刻
$τ = min {n \geq 0 : S_{n} = - 2 または S_{n} = 5}$
を定める（フィルトレーションは $(ξ_{k})$ の生成する自然なものとする）。 $τ$ の分散 $V (τ)$ を求めよ。

この問題で使うもの

任意停止定理（説明と入口の問題）
マルチンゲール（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S_{n}$ の多項式と $n$ を組み合わせたマルチンゲール（ $S_{n}^{2} - n$ 、 $S_{n}^{3} - 3 n S_{n}$ 、 $S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n$ ）に任意停止定理を適用してみよう。 $τ$ のモーメントが有限であることも確認すること。

ヒント 2

4 次のマルチンゲールから $3 E [τ^{2}] = 6 E [τ S_{τ}^{2}] - 2 E [τ] - E [S_{τ}^{4}]$ が得られる。 $E [τ S_{τ}^{2}]$ を求めるには、 $E [τ; S_{τ} = 5]$ と $E [τ; S_{τ} = - 2]$ を別々に求めればよい。

ヒント 3

$E [τ] = 10$ である。また 3 次のマルチンゲールから $E [τ S_{τ}] = \frac{10 \cdot 3}{3} = 10$ が得られる。これと $E [τ; S_{τ} = 5] + E [τ; S_{τ} = - 2] = 10$ を連立させよう。

答えと解説

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90

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解説を読む

一般に $a, b$ を正の整数として $τ = min {n : S_{n} \in {- a, b}}$ を考え、最後に $a = 2, b = 5$ とする。

可積分性と任意停止定理の適用. どの時刻からでも $a + b$ 回続けて $+ 1$ が出れば区間から出るので、 $P (τ > k (a + b)) \leq (1 - 2^{- (a + b)})^{k}$ となる。したがって $τ$ は指数的な裾をもち、任意の次数のモーメントが有限である。以下のマルチンゲール $M_{n}$ はいずれも $∣ M_{τ \land n} ∣ \leq C (1 + τ^{2})$ （ $C$ は定数、 $∣ S_{τ \land n} ∣ \leq max (a, b)$ による）を満たす。よって $E [M_{τ \land n}] = E [M_{0}]$ で $n \to \infty$ とし、優収束定理を使えば $E [M_{τ}] = E [M_{0}]$ が成り立つ。

(1) 到達確率と $E [τ]$ . $S_{n}$ はマルチンゲールなので $E [S_{τ}] = 0$ である。 $p = P (S_{τ} = b)$ とおくと $b p - a (1 - p) = 0$ より
$p = \frac{a}{a + b}, P (S_{τ} = - a) = \frac{b}{a + b} .$
$S_{n}^{2} - n$ はマルチンゲールなので $E [τ] = E [S_{τ}^{2}] = \frac{a b ^{2} + b a ^{2}}{a + b} = ab$ となる。

(2) $S_{n}^{3} - 3 n S_{n}$ はマルチンゲール. $E [(S + ξ)^{3} - S^{3}] = 3 S$ 、 $E [3 (n + 1) (S + ξ) - 3 n S] = 3 S$ であり、差は $0$ である。よって
$3 E [τ S_{τ}] = E [S_{τ}^{3}] = \frac{a b ^{3} - b a ^{3}}{a + b} = ab (b - a) .$
$x = E [τ; S_{τ} = b]$ 、 $y = E [τ; S_{τ} = - a]$ とおくと
$x + y = ab, b x - a y = \frac{ab ( b - a )}{3} .$
これを解くと
$x = \frac{ab ( 2 a + b )}{3 ( a + b )}, y = \frac{ab ( a + 2 b )}{3 ( a + b )} .$
したがって
$E [τ S_{τ}^{2}] = b^{2} x + a^{2} y = \frac{ab ( a ^{3} + 2 a ^{2} b + 2 a b ^{2} + b ^{3} )}{3 ( a + b )} = \frac{ab ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} .$

(3) $M_{n} = S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n$ はマルチンゲール. 各項の増分の条件付き期待値は次のとおりである。
- $E [(S + ξ)^{4} - S^{4}] = 6 S^{2} + 1$
- $E [6 (n + 1) (S + ξ)^{2} - 6 n S^{2}] = 6 S^{2} + 6 n + 6$
- $3 (n + 1)^{2} - 3 n^{2} = 6 n + 3$
- $2 (n + 1) - 2 n = 2$

これらを合わせると $6 S^{2} + 1 - (6 S^{2} + 6 n + 6) + (6 n + 3) + 2 = 0$ となる。 $E [M_{τ}] = 0$ より
$3 E [τ^{2}] = 6 E [τ S_{τ}^{2}] - 2 E [τ] - E [S_{τ}^{4}] .$
ここで $E [S_{τ}^{4}] = \frac{a b ^{4} + b a ^{4}}{a + b} = ab (a^{2} - ab + b^{2})$ である。よって
$3 E [τ^{2}] = 2 ab (a^{2} + ab + b^{2}) - 2 ab - ab (a^{2} - ab + b^{2}) = ab (a^{2} + 3 ab + b^{2} - 2) .$
これから
$V (τ) = \frac{ab ( a ^{2} + 3 ab + b ^{2} - 2 )}{3} - a^{2} b^{2} = \frac{ab ( a ^{2} + b ^{2} - 2 )}{3} .$
（検算として $a = 1, b = 2$ のとき、直接計算すると $E [τ] = 2$ 、 $E [τ^{2}] = 6$ 、 $V = 2$ となり、公式の値と一致する。）

(4) 数値の代入. $a = 2, b = 5$ とすると
$E [τ] = 10, E [τ^{2}] = \frac{10 \cdot 57}{3} = 190, V (τ) = 190 - 100 = 90.$

別解

$S_{n}$ は対称単純ランダムウォークで、区間 $[- a, b]$ （ $a = 2, b = 5$ ）の両端で吸収される。次の式を使う。

1. $S_{n}^{2} - n$ は martingale である。任意停止定理から $E [τ] = ab = 10$ 。
2. 一般に $V (τ) = \frac{ab ( a ^{2} + b ^{2} - 2 )}{3}$ が成り立つ（ $S_{n}^{4} - 6 n S_{n}^{2} + 3 n^{2} + 2 n$ が martingale であることから導かれる）。この式は、小さい場合の漸化式の直接計算で確かめた。
- $(a, b) = (1, 1)$ : $τ = 1$ なので分散は 0。公式の値も 0。
- $(a, b) = (1, 2)$ : $E [τ^{2}] = 6$ 、 $E [τ] = 2$ より分散 2。公式の値も 2。
- $(a, b) = (1, 3)$ : $E [τ^{2}] = 17$ 、 $E [τ] = 3$ より分散 8。公式の値も 8。
3. $a = 2, b = 5$ を代入すると $V (τ) = \frac{10 ( 4 + 25 - 2 )}{3} = \frac{10 \cdot 27}{3} = 90$ 。

公式は上の3つの場合に一致することを確かめたが、 $(a, b) = (2, 5)$ そのものについては直接検算していない。

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