任意停止定理

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{1}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{3}$$
を満たすものとする。$X_0=2$、$X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。これは、所持金 $2$ 円のギャンブラーが、勝つ確率 $\frac{1}{3}$ で $1$ 円を得て、負ける確率 $\frac{2}{3}$ で $1$ 円を失う賭けを繰り返すときの、$n$ 回後の所持金を表す。

$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=0\text{または}{X}_n=5\}$$
とする。つまり、所持金が $0$ 円になるか $5$ 円になった時点で賭けをやめる。賭けをやめるまでの回数の期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{3}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{5}$$ を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とし、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$（${\mathcal{F}}_0$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=4\}$$ を考える（$\inf \varnothing =\infty$）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{3}{5}$$ を満たすものとする。所持金の推移を $X_0=2$, $X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ で表し、フィルトレーションは ${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$, ${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ とする。停止時刻を $$\tau =\inf \{n\ge 0:X_n\in \{0,5\}\}$$ と定める。$M_n={\left(\frac{3}{2}\right)}^{X_n}$ がマルチンゲールであることと任意停止定理を用いて、所持金が $0$ になる前に $5$ に達する確率 $P(X_{\tau }=5)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $X_t=2+3W_t$ を考え、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (0,6)\}$$
とおく（$X$ が初めて $0$ または $6$ に到達する時刻）。$\tau <\infty$ がほとんど確実に成り立つことは既知としてよい。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$X_t=2W_t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (-1,3)\}$$
とする（$X$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $X_t$ を
$$X_t=1+2W_t(t\ge 0)$$
で定め、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (0,4)\}$$
とおく（$X$ が初めて $0$ または $4$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{3}$$
を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$（$n\ge 1$）とおき、
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=4\text{または}{S}_n=-2\}$$
と定める。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$a,b$ を正の整数とする。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-a\text{または}{S}_n=b\}$$
とする。$S_T=b$ という条件のもとでの $T$ の条件付き期待値 $E[T\mid S_T=b]$ を $a,b$ の式で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,3)\}$$
（$W$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）を考える。$W$ が $-1$ より先に $3$ に到達するという条件のもとでの $\tau$ の条件付き期待値
$$E[\tau \mid W_{\tau }=3]=\frac{E[\tau 1_{\{W_{\tau }=3\}}]}{P(W_{\tau }=3)}$$
を求めよ。

$\frac{1}{2}<p<1$ とし、$q=1-p$, $\mu =p-q=2p-1$ とおく。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数列で $P({\xi }_i=1)=p$, $P({\xi }_i=-1)=q$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。${\mathcal{F}}_0$ を自明な $\sigma$-加法族、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)(n\ge 1)$ とする。正の整数 $b$ を固定し、
$$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=b\}(\inf \varnothing =\infty )$$
とおく。$\tau <\infty$ のとき、$b$ に到達するまでの経路の「面積」を
$$A=\sum _{k=0}^{\tau -1}{S}_k$$
で定める。このとき $\tau <\infty$ a.s. であり、$A$ は可積分で
$$E[A]=\frac{b(b\mu -1)}{2{\mu }^2}$$
であることを証明せよ。

なお、$({\mathcal{F}}_n)$-マルチンゲール $(M_n)$ と $({\mathcal{F}}_n)$-停止時刻 $\sigma$ に対して、各 $n\ge 0$ で $E[M_{\sigma \wedge n}]=E[M_0]$ が成り立つこと（有界な停止時刻に対する任意抽出定理）、マルコフの不等式、単調収束定理（項別積分を含む）、優収束定理は用いてよい。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\mu >0$, $a>0$ に対して $X_t=B_t-\mu t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。次の事実は用いてよい。

• $\tau$ は $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻である。
• 連続な $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $\sigma$ に対して $E[M_{\sigma }]=E[M_0]$（任意抽出定理）。
• $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{B_t}{t}=0$ a.s.

このとき
$$P\left(\underset{t\ge 0}{\sup }{X}_t\ge a\right)=P(\tau <\infty )=e^{-2\mu a}$$
であることを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $a>0$, $\lambda >0$ と $x\in [-a,a]$ をとり、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|x+B_t|=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。ただし $e^{-\lambda \cdot \infty }=0$ と約束する。$\tau$ が $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻であること、伊藤の公式、および有界な発展的可測過程 $H$ に対して $E\left[{\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s\right]=0$（$t\ge 0$）であることは用いてよい。

このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }\right]=\frac{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }x\right)}{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }a\right)}$$
が成り立つことを証明せよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $3$ 次元標準ブラウン運動とし、$B_0=x_0$（$x_0\in {\mathbb{R}}^3$ は $|x_0|=\frac{3}{2}$ を満たす定点）とする。ここで $|\cdot |$ はユークリッドノルムである。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|B_t|\notin (1,3)\}$$
を $B$ が球殻 $\{1<|x|<3\}$ から初めて出る時刻とし、事象 $A=\{|B_{\tau }|=1\}$（内側の球面に先に到達する事象）を考える。条件付き期待値
$$E[\tau \mid A]=\frac{E[\tau 1_A]}{P(A)}$$
の値を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとする。$S_0=0$、$S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおき、停止時刻
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=5\}$$
を定める（フィルトレーションは $({\xi }_k)$ の生成する自然なものとする）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数とし、それぞれ文字 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ のいずれかの値をとり、$$P(X_k=\mathrm{A})=\frac{1}{2},P(X_k=\mathrm{B})=\frac{1}{3},P(X_k=\mathrm{C})=\frac{1}{6}$$ を満たすものとする。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 5:(X_{n-4},X_{n-3},X_{n-2},X_{n-1},X_n)=(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B})\}$$ を定める（文字列 $\mathrm{ABCAB}$ が初めて現れ終わる時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-3\text{または}{S}_n=4\}$$
に対して、$E[T^2]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、ドリフト付きブラウン運動 $X_t=W_t+t$ を考える。$c=\frac{\log 2}{2}$ とおき、停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|X_t|=c\}$$
を定める（$X$ が初めて区間 $(-c,c)$ の外に出る時刻）。$A$ を事象 $\{X_{\tau }=c\}$（上端に先に到達する事象）として、
$$L=E\left[e^{-\frac{3}{2}\tau }{1}_A\right]$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数、$1_A$ は $A$ の定義関数とする。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動（標本路は連続）とし、その自然なフィルトレーションを考える。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:B_t\notin (-1,2)\}$$
を定める（$B_t$ が初めて $-1$ または $2$ に到達する時刻）。$E\left[{\tau }^2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,3)\}$$
とおき（$W$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）、$\lambda =\frac{(\log 2{)}^2}{2}$ とする。このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }{1}_{\{W_{\tau }=-1\}}\right]$$
を求めよ。ただし $1_A$ は事象 $A$ の定義関数である。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{4},P({\xi }_k=0)=\frac{1}{2}$$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=3\}$$ を考える（$\tau <\infty$ が確率 $1$ で成り立つ）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。