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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、 $P (ξ_{k} = 1) = \frac{2}{5}, P (ξ_{k} = - 1) = \frac{3}{5}$ を満たすものとする。所持金の推移を $X_{0} = 2$ , $X_{n} = 2 + ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ $(n \geq 1)$ で表し、フィルトレーションは $F_{0} = {\emptyset, Ω}$ , $F_{n} = σ (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ とする。停止時刻を $τ = in f {n \geq 0 : X_{n} \in {0, 5}}$ と定める。 $M_{n} = (\frac{3}{2})^{X_{n}}$ がマルチンゲールであることと任意停止定理を用いて、所持金が $0$ になる前に $5$ に達する確率 $P (X_{τ} = 5)$ を求めよ。

この問題で使うもの

マルチンゲール（説明と入口の問題）
任意停止定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

任意停止定理を使う問題です。与えられたマルチンゲール $M_{n} = (3/2)^{X_{n}}$ について、停止時刻 $τ$ で $E [M_{τ}] = E [M_{0}]$ が成り立つことを使います。

ヒント 2

定理を使う前に、 $τ < \infty$ a.s. であることと、 $M_{n \land τ}$ が有界であること（ $0 \leq X_{n \land τ} \leq 5$ ）を確かめます。そのうえで $E [M_{τ}] = P (X_{τ} = 5) \cdot (3/2)^{5} + P (X_{τ} = 0) \cdot (3/2)^{0}$ と書きます。

ヒント 3

$E [M_{0}] = (3/2)^{2} = 9/4$ なので、 $P = P (X_{τ} = 5)$ とおくと $\frac{243}{32} P + (1 - P) = \frac{9}{4}$ という方程式が得られます。

答えと解説

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\frac{40}{211}

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解説を読む

1. マルチンゲールであることの確認

$r = \frac{q}{p} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2}$ とおく。 $ξ_{n + 1}$ は $F_{n}$ と独立なので、
$E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = M_{n} E [r^{ξ_{n + 1}}] = M_{n} (\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}) = M_{n} (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = M_{n} .$
また $M_{n}$ は $F_{n}$ 可測で、各 $n$ について有界なので可積分である。よって $(M_{n})$ はマルチンゲールである。

2. 任意停止定理の仮定の確認

(a) $τ < \infty$ a.s. であること： $k = 0, 1, 2, \dots$ について、時刻 $5 k + 1, \dots, 5 k + 5$ の $5$ 回がすべて $+ 1$ である事象を $A_{k}$ とする。 $A_{k}$ が起これば、その区間が終わるまでにゲームは必ず終わる。 $A_{0}, A_{1}, \dots$ は独立で、 $P (A_{k}) = (\frac{2}{5})^{5}$ である。したがって
$P (τ > 5 m) \leq P (A_{0}^{c} \cap \dots \cap A_{m - 1}^{c}) = (1 - (\frac{2}{5})^{5})^{m} \to 0 (m \to \infty)$
となり、 $τ < \infty$ a.s. がわかる。

(b) 停止過程が有界であること： $n \leq τ$ の範囲では $0 \leq X_{n} \leq 5$ なので、すべての $n$ について $0 < M_{n \land τ} \leq (\frac{3}{2})^{5}$ が成り立つ。

3. 任意停止定理の適用

有界な停止時刻 $n \land τ$ に対して任意停止定理を使うと、 $E [M_{n \land τ}] = E [M_{0}]$ となる。(a) より $n \to \infty$ のとき $M_{n \land τ} \to M_{τ}$ a.s. であり、(b) より有界なので、優収束定理によって
$E [M_{τ}] = E [M_{0}] = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} .$

4. 確率の計算

$P (X_{τ} = 5) = P$ とおく。 $X_{τ}$ は $0$ か $5$ のどちらかなので、 $P (X_{τ} = 0) = 1 - P$ であり、
$E [M_{τ}] = P \cdot (\frac{3}{2})^{5} + (1 - P) \cdot 1 = \frac{243}{32} P + 1 - P .$
これが $\frac{9}{4}$ に等しいので、
$\frac{211}{32} P = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}, P = \frac{5}{4} \cdot \frac{32}{211} = \frac{40}{211} .$

したがって $P (X_{τ} = 5) = \frac{40}{211}$ である。

別解

$E [(3/2)^{ξ_{k}}] = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ なので、 $M_{n} = (3/2)^{X_{n}}$ は $F_{n}$ に適合し、可積分で、 $E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = M_{n} E [(3/2)^{ξ_{n + 1}}] = M_{n}$ を満たす。よってマルチンゲールである。

停止した過程 $M_{n \land τ}$ は、 $0 \leq X_{n \land τ} \leq 5$ より $1 \leq M_{n \land τ} \leq (3/2)^{5}$ と有界である。また、有限の状態空間上の確率 $2/5$ で $+ 1$ 、 $3/5$ で $- 1$ に進むランダムウォークなので、 $τ < \infty$ a.s. である。したがって任意停止定理より $E [M_{τ}] = M_{0} = (3/2)^{2} = \frac{9}{4}$ 。

$P (X_{τ} = 5) = P$ とおくと $P (X_{τ} = 0) = 1 - P$ であり、
$P \cdot (3/2)^{5} + (1 - P) \cdot 1 = \frac{9}{4}$ 。
$(3/2)^{5} = \frac{243}{32}$ なので、 $P \cdot \frac{211}{32} = \frac{5}{4}$ 、すなわち $P = \frac{5}{4} \cdot \frac{32}{211} = \frac{40}{211}$ 。

検算：一般に $P = \frac{r ^{2} - 1}{r ^{5} - 1}$ （ $r = 3/2$ ）で、 $r^{2} - 1 = 5/4$ 、 $r^{5} - 1 = 211/32$ となり、上の値と一致する。

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