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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、 $P (ξ_{k} = 1) = \frac{3}{5}, P (ξ_{k} = - 1) = \frac{2}{5}$ を満たすものとする。 $S_{0} = 0$ , $S_{n} = ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ $(n \geq 1)$ とし、 $F_{n} = σ (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ （ $F_{0}$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $τ = in f {n \geq 0 : S_{n} = 4}$ を考える（ $in f \emptyset = \infty$ ）。期待値 $E [τ]$ を求めよ。

この問題で使うもの

マルチンゲール（説明と入口の問題）
任意停止定理（説明と入口の問題）
測度論的な期待値と収束定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

任意停止定理を使います。平均 $E [ξ_{k}]$ を引いて、 $S_{n}$ からマルチンゲールを作りましょう。

ヒント 2

$M_{n} = S_{n} - \frac{n}{5}$ はマルチンゲールです。有界な停止時刻 $τ \land n$ に任意停止定理を使うと $E [S_{τ \land n}] = \frac{1}{5} E [τ \land n]$ が得られます。

ヒント 3

$S_{τ \land n} \leq 4$ から $E [τ \land n] \leq 20$ となり、単調収束定理で $E [τ] < \infty$ がわかります。あとは $∣ S_{τ \land n} ∣ \leq τ$ を使って、 $n \to \infty$ の極限をとりましょう。

答えと解説

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解説を読む

手順 1：マルチンゲールを作る。
$E [ξ_{k}] = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ である。そこで $M_{n} = S_{n} - \frac{n}{5}$ とおく。 $ξ_{n + 1}$ は $F_{n}$ と独立なので
$E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = S_{n} + E [ξ_{n + 1}] - \frac{n + 1}{5} = S_{n} - \frac{n}{5} = M_{n}$
となる。また $∣ M_{n} ∣ \leq n + \frac{n}{5}$ より $M_{n}$ は可積分である。したがって $(M_{n})$ は $(F_{n})$ -マルチンゲールである。

手順 2：有界な停止時刻 $τ \land n$ に任意停止定理を使う。
$τ$ そのものが有界かどうかはまだわからないので、まず有界な停止時刻 $τ \land n$ を考える。有界な停止時刻には任意停止定理がそのまま使えて、
$E [M_{τ \land n}] = E [M_{0}] = 0, すなわち E [S_{τ \land n}] = \frac{1}{5} E [τ \land n] (1)$
が成り立つ。

手順 3： $E [τ] < \infty$ を確かめる。
$S_{0} = 0 < 4$ で、歩幅は $\pm 1$ である。よって、 $4$ に到達する前の時刻では $S_{m} \leq 3$ であり、到達した時刻では $S_{τ} = 4$ である。したがって常に $S_{τ \land n} \leq 4$ が成り立つ。これと $(1)$ から $E [τ \land n] \leq 20$ となる。 $τ \land n$ は $n$ について単調に増加して $τ$ に収束するので、単調収束定理により
$E [τ] = n \to \infty lim E [τ \land n] \leq 20 < \infty$
である。特に $τ < \infty$ がほとんど確実に成り立つ。

手順 4： $n \to \infty$ の極限をとる。
$τ < \infty$ a.s. なので、 $S_{τ \land n} \to S_{τ} = 4$ がほとんど確実に成り立つ。また歩幅が $\pm 1$ なので $∣ S_{τ \land n} ∣ \leq τ \land n \leq τ$ であり、 $τ$ は可積分である。よって優収束定理から $E [S_{τ \land n}] \to 4$ となる。右辺も単調収束定理により $\frac{1}{5} E [τ \land n] \to \frac{1}{5} E [τ]$ となる。 $(1)$ の両辺の極限をとって
$4 = \frac{1}{5} E [τ] ⟹ E [τ] = 20.$

別解

ドリフトは $E [ξ_{k}] = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5} > 0$ である。したがって $S_{n} \to \infty$ であり、水準 4 に確率 1 で到達する（1 歩ずつ動くので飛び越えない）。\n\nWald の等式（またはマルチンゲール $S_{n} - n /5$ に任意抽出定理）を用いる。 $τ \land n$ に対して $E [S_{τ \land n}] = \frac{1}{5} E [τ \land n]$ が成り立つ。\n\n $S_{τ \land n} \leq 4$ であるが下には有界でない。そこで別の方法で確かめる。\n\n1 つ上の水準に初めて到達するまでの時間を $T$ とし、 $m = E [T]$ とおく。 $m < \infty$ を仮定して 1 歩目で場合分けすると、\n $m = 1 + \frac{2}{5} (m + m)$ となる（1 歩目が $- 1$ なら、元の水準に戻るのに $m$ 、さらに上に行くのに $m$ かかる）。\n\nこれを解くと $m = 1 + \frac{4}{5} m$ より $\frac{1}{5} m = 1$ 、 $m = 5$ となる。\n\n水準 4 へは $T$ の独立同分布なコピー 4 個の和で到達するので、 $E [τ] = 4 \cdot 5 = 20$ である。\n\n検算：Wald の等式より $E [S_{τ}] = 4 = \frac{1}{5} E [τ]$ で、 $E [τ] = 20$ 。これは上の結果と一致する。\n\n $m < \infty$ の根拠： $τ \land n$ について、 $S_{τ \land n} \geq -$ （下方への到達）を考えると、 $E [τ \land n] = 5 E [S_{τ \land n}] \leq 20$ である。単調収束により $E [τ] \leq 20 < \infty$ となる。このとき $S_{τ \land n} \leq 4$ なので、上の不等式が成り立つ。

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