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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、
$P (ξ_{k} = 1) = \frac{1}{3}, P (ξ_{k} = - 1) = \frac{2}{3}$
を満たすものとする。 $X_{0} = 2$ 、 $X_{n} = 2 + ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ $(n \geq 1)$ とおく。これは、所持金 $2$ 円のギャンブラーが、勝つ確率 $\frac{1}{3}$ で $1$ 円を得て、負ける確率 $\frac{2}{3}$ で $1$ 円を失う賭けを繰り返すときの、 $n$ 回後の所持金を表す。

$τ = min {n \geq 0 : X_{n} = 0 または X_{n} = 5}$
とする。つまり、所持金が $0$ 円になるか $5$ 円になった時点で賭けをやめる。賭けをやめるまでの回数の期待値 $E [τ]$ を求めよ。

この問題で使うもの

任意停止定理（説明と入口の問題）
マルチンゲール（説明と入口の問題）
到達確率と平均到達時間（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

任意停止定理を使う。破産確率を求めるためのマルチンゲールと、期待時間を求めるためのマルチンゲールの 2 つを用意する。

ヒント 2

$E [2^{ξ_{k}}] = 1$ なので $2^{X_{n}}$ はマルチンゲールになる。また $E [ξ_{k}] = - \frac{1}{3}$ なので $X_{n} + \frac{n}{3}$ もマルチンゲールになる。どちらも停止時刻 $τ$ で任意停止定理を使えるかを確かめる。

ヒント 3

$p = P (X_{τ} = 5)$ とおくと、 $E [2^{X_{τ}}] = 4$ から $32 p + (1 - p) = 4$ 、つまり $p = \frac{3}{31}$ が得られる。あとは $E [X_{τ}] + \frac{E [ τ ]}{3} = 2$ を使う。

答えと解説

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\frac{141}{31}

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解説を読む

フィルトレーションを $F_{n} = σ (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ （ $F_{0}$ は自明な σ 加法族）とする。 $τ$ はこのフィルトレーションに関する停止時刻である。

手順 1： $E [τ] < \infty$ を確かめる。
所持金が $1, 2, 3, 4$ 円のどこにいても、続けて $5$ 回負ければ必ず $0$ 円に達する。したがって、連続する $5$ 回の賭けのたびに、少なくとも確率 $(\frac{2}{3})^{5} = c > 0$ で賭けが終わる。よって $P (τ > 5 m) \leq (1 - c)^{m}$ となり、
$E [τ] = n \geq 0 \sum P (τ > n) \leq 5 m \geq 0 \sum (1 - c)^{m} < \infty.$
特に $τ < \infty$ が確率 $1$ で成り立つ。

手順 2：2 つのマルチンゲールを用意する。
(a) $E [2^{ξ_{k}}] = \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$ であり、 $ξ_{n + 1}$ は $F_{n}$ と独立である。よって $M_{n} = 2^{X_{n}}$ は
$E [M_{n + 1} ∣ F_{n}] = 2^{X_{n}} E [2^{ξ_{n + 1}}] = M_{n}$
を満たし、マルチンゲールである。

(b) $E [ξ_{k}] = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}$ である。よって $N_{n} = X_{n} + \frac{n}{3}$ は
$E [N_{n + 1} ∣ F_{n}] = X_{n} + E [ξ_{n + 1}] + \frac{n + 1}{3} = N_{n}$
を満たし、マルチンゲールである。

手順 3：任意停止定理の仮定を確かめて適用する。
(a) $n \leq τ$ では $0 \leq X_{n} \leq 5$ なので、 $∣ M_{τ \land n} ∣ \leq 2^{5}$ である。つまり停止したマルチンゲールは有界であり、 $τ < \infty$ a.s. とあわせて任意停止定理が使える。よって
$E [2^{X_{τ}}] = E [M_{0}] = 2^{2} = 4.$
$p = P (X_{τ} = 5)$ とおくと、 $X_{τ}$ は $0$ か $5$ なので
$32 p + 1 \cdot (1 - p) = 4 ⟹ 31 p = 3 ⟹ p = \frac{3}{31} .$
したがって $E [X_{τ}] = 5 \cdot \frac{3}{31} = \frac{15}{31}$ である。

(b) $N$ は増分が $∣ N_{n + 1} - N_{n} ∣ = ξ_{n + 1} + \frac{1}{3} \leq \frac{4}{3}$ と有界で、手順 1 より $E [τ] < \infty$ である。よって任意停止定理が使え、
$E [X_{τ}] + \frac{E [ τ ]}{3} = E [N_{0}] = 2.$

手順 4：計算する。
$\frac{E [ τ ]}{3} = 2 - \frac{15}{31} = \frac{47}{31} ⟹ E [τ] = \frac{141}{31} .$

別解

これは $p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3}$ のギャンブラー破産問題である。 $D_{i}$ を所持金 $i$ 円から始めたときの $E [τ]$ とすると、 $D_{0} = D_{5} = 0$ 、 $1 \leq i \leq 4$ で $D_{i} = 1 + \frac{1}{3} D_{i + 1} + \frac{2}{3} D_{i - 1}$ が成り立つ。

特解は $\frac{i}{q - p} = 3 i$ である。実際、 $3 i = 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 (i + 1) + \frac{2}{3} \cdot 3 (i - 1) = 1 + i + 1 + 2 i - 2 = 3 i$ となり成立する。

斉次解は $A + B 2^{i}$ である。ここで $r = q / p = 2$ とおいた。したがって $D_{i} = 3 i + A + B 2^{i}$ と書ける。

境界条件 $D_{0} = 0$ より $A + B = 0$ 、 $D_{5} = 0$ より $15 + A + 32 B = 0$ である。これを解くと $31 B = - 15$ 、つまり $B = - \frac{15}{31}$ 、 $A = \frac{15}{31}$ となる。

よって $D_{2} = 6 + \frac{15}{31} - \frac{15}{31} \cdot 4 = 6 - \frac{45}{31} = \frac{141}{31}$ 。

検算として、 $D_{i} = 3 i + \frac{15}{31} (1 - 2^{i})$ から $D_{1} = 3 - \frac{15}{31} = \frac{78}{31}$ 、 $D_{3} = 9 - \frac{105}{31} = \frac{174}{31}$ となる。 $i = 2$ で漸化式を確かめると、 $1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{174}{31} + \frac{2}{3} \cdot \frac{78}{31} = 1 + \frac{58}{31} + \frac{52}{31} = \frac{141}{31}$ で一致する。

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