σ 加法族に関する条件付き期待値

σ 加法族に関する条件付き期待値の性質（塔の性質・取り出し）を使って計算できる

前提

測度論的な期待値と収束定理（大学院数学確率論）
条件付き分布と全期待値の公式（大学数学確率・統計）

この技能までの道筋（68 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
単調収束定理・優収束定理（大学院数学測度論・実解析）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
測度論的な期待値と収束定理（大学院数学確率論）
確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）
条件付き分布と全期待値の公式（大学数学確率・統計）

説明

確率空間 $(Ω, F, P)$ の部分 σ 加法族 $G$ を「その時点で手に入っている情報」と考えます。 $E [X ∣ G]$ は、その情報のもとでの $X$ の最良の予測です。 $E [X ∣ Y]$ は $G = σ (Y)$ の場合にあたり、ここではそれを一般の σ 加法族に広げます。計算で主に使う性質は次の 3 つです。
- 取り出し： $G$ で決まる量は外に出せる。
- 塔の性質：入れ子の条件付けでは粗い方の情報だけが残る。
- 独立性： $G$ と独立な量は普通の期待値になる。

マルチンゲールや確率過程、フィルタリングの計算は、これらの性質の組合せでできています。

なぜそうしてよいのか

【定義】可積分な $X$ （ $E ∣ X ∣ < \infty$ ）と部分 σ 加法族 $G \subset F$ に対し、 $E [X ∣ G]$ は次の 2 条件をみたす確率変数 $Z$ と定義します。
- (i) $Z$ は $G$ 可測で可積分である。
- (ii) すべての $A \in G$ について $E [Z 1_{A}] = E [X 1_{A}]$ が成り立つ。

このような $Z$ は必ず存在し、確率 0 の集合を除いて一つに決まります（ほとんど確実に一意。以下 a.s. と書きます）。直観的には、 $G$ で区別できる事象 $A$ ごとに平均をとると $X$ と一致するように、 $X$ を $G$ の粒度でならしたものです。 $G = σ (Y)$ のとき、これは既に知っている $E [X ∣ Y]$ と一致します。定義から次の 2 つがすぐに従います。
- 線形性： $E [a X + b X^{'} ∣ G] = a E [X ∣ G] + b E [X^{'} ∣ G]$
- 正値性： $X \geq 0$ なら $Z \geq 0$ a.s.。実際 $A = {Z < 0} \in G$ とおくと $E [Z 1_{A}] = E [X 1_{A}] \geq 0$ ですが、 $Z 1_{A} \leq 0$ なので $P (A) = 0$ です。

【塔の性質】 $H \subset G$ とし、 $Z = E [X ∣ G]$ とおきます。 $A \in H$ なら $A \in G$ でもあるので、 $E [Z 1_{A}] = E [X 1_{A}]$ です。よって、 $H$ の事象について (ii) を $X$ に対してみたす $H$ 可測な変数は、 $Z$ に対しても同じ条件をみたします。つまり $E [E [X ∣ G] ∣ H] = E [X ∣ H]$ です。
- $H = {\emptyset, Ω}$ とすれば、全期待値の公式 $E [E [X ∣ G]] = E [X]$ が得られます。
- 逆の順では、 $E [X ∣ H]$ はもともと $G$ 可測なので、 $E [E [X ∣ H] ∣ G] = E [X ∣ H]$ です。

どちらの順でも、粗い方（小さい方）の $H$ が残ります。

【取り出し】主張は「 $W$ が $G$ 可測で $W X$ が可積分なら、 $E [W X ∣ G] = W E [X ∣ G]$ 」です。 $Z = E [X ∣ G]$ とおき、3 段階で示します。
- (a) $W = 1_{B}$ （ $B \in G$ ）の場合。 $A \in G$ なら $A \cap B \in G$ なので、 $E [1_{B} Z 1_{A}] = E [Z 1_{A \cap B}] = E [X 1_{A \cap B}] = E [1_{B} X 1_{A}]$ です。線形性により、 $G$ 可測な単関数 $W$ （有界）でも成り立ちます。
- (b) $X \geq 0$ 、 $W \geq 0$ の場合。このとき $Z \geq 0$ a.s. です。 $G$ 可測な単関数 $0 \leq W_{n} ↑ W$ をとると、(a) より、各 $A \in G$ で $E [W_{n} Z 1_{A}] = E [W_{n} X 1_{A}]$ です。両辺の被積分関数は非負で単調増加なので、単調収束定理で $n \to \infty$ として $E [W Z 1_{A}] = E [W X 1_{A}]$ を得ます。 $A = Ω$ とすると $E [W Z] = E [W X] < \infty$ なので、 $W Z$ は可積分で $G$ 可測です。よって (i)(ii) がみたされ、 $W Z = E [W X ∣ G]$ となります。
- (c) 一般の場合。 $X = X^{+} - X^{-}$ 、 $W = W^{+} - W^{-}$ と分解します。 $∣ W^{\pm} X^{\pm} ∣ \leq ∣ W X ∣$ なので、4 つの積 $W^{\pm} X^{\pm}$ はどれも可積分で、(b) が使えます。線形性 $E [X ∣ G] = E [X^{+} ∣ G] - E [X^{-} ∣ G]$ と合わせて展開すれば、一般の場合が得られます。

【独立性】 $X$ が $G$ と独立なら、 $A \in G$ に対し $E [X 1_{A}] = E [X] P (A) = E [E [X] 1_{A}]$ です。定数 $E [X]$ は $G$ 可測なので、 $E [X ∣ G] = E [X]$ となります。

手順

条件付ける σ 加法族を確認する。入れ子なら包含関係（どちらが粗いか）を確かめる。中身の各因子が「 $G$ 可測」「 $G$ と独立」のどちらにあたるかを仕分け、関係する積が可積分であることも確かめる
条件付き期待値が入れ子になっていたら、塔の性質で粗い方に揃える： $H \subset G$ のとき $E [E [X ∣ G] ∣ H] = E [X ∣ H]$ 。特に $E [E [X ∣ G]] = E [X]$
$G$ 可測な因子を外に出す（取り出し）： $W X$ が可積分のとき $E [W X ∣ G] = W E [X ∣ G]$ 。特に $E [W ∣ G] = W$
$G$ と独立な因子の条件付き期待値は定数に置き換える： $E [X ∣ G] = E [X]$
残った普通の期待値を積分で計算する。得られた等式は a.s. の意味で成り立つことに注意する

例題

確率変数 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ は互いに独立とする。 $X_{1}, X_{2}$ は区間 $[0, 1]$ 上の一様分布に従い、 $X_{3}$ は平均 $2$ の指数分布（密度 $\frac{1}{2} e^{- x /2}$ , $x \geq 0$ ）に従う。 $G_{1} = σ (X_{1})$ 、 $G_{2} = σ (X_{1}, X_{2})$ とし、 $Z = E [E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{2}] ∣ G_{1}]$ とおく。 $E [Z^{2}]$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】まず σ 加法族の包含関係を確かめます。 $X_{1}$ は $G_{2}$ 可測なので、 $G_{1} \subset G_{2}$ で、 $G_{1}$ の方が粗いです。次に因子を仕分けます。
- $X_{1}$ は $G_{1}$ 可測です。
- $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ は互いに独立なので、 $(X_{2}, X_{3})$ は $X_{1}$ と独立です。よって $X_{2} X_{3}^{2}$ は $G_{1}$ と独立です。

可積分性も確認します。 $0 \leq X_{1} X_{2} \leq 1$ なので $E ∣ X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ \leq E [X_{3}^{2}] < \infty$ です（値は下で求めます）。
【手順2】入れ子になっているので、塔の性質で粗い方の $G_{1}$ に揃えます。 $Z = E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{1}]$ （a.s.）です。
【手順3】 $G_{1}$ 可測な $X_{1}$ を外に出します。 $Z = X_{1} E [X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{1}]$ （a.s.）です。
【手順4】 $X_{2} X_{3}^{2}$ は $G_{1}$ と独立なので、 $E [X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{1}] = E [X_{2} X_{3}^{2}] = E [X_{2}] E [X_{3}^{2}]$ です。ここで $E [X_{2}] = \frac{1}{2}$ です。また、部分積分を 2 回行うと $E [X_{3}^{2}] = \int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot \frac{1}{2} e^{- x /2} d x = 8$ です（分散 $4$ と平均 $2$ から $4 + 2^{2} = 8$ としても同じです）。よって $Z = X_{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 X_{1}$ （a.s.）です。
【手順5】 $E [Z^{2}] = 16 E [X_{1}^{2}] = 16 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{16}{3}$ です。
（検算：内側から計算することもできます。取り出しと独立性により、 $E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{2}] = X_{1} X_{2} E [X_{3}^{2}] = 8 X_{1} X_{2}$ です。続けて $E [8 X_{1} X_{2} ∣ G_{1}] = 8 X_{1} E [X_{2}] = 4 X_{1}$ となり、結果が一致します。）

答え: $\frac{16}{3}$

よくある誤り

塔の性質で、細かい方の σ 加法族が残るとしてしまう誤り。例題で $Z = E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{2}] = 8 X_{1} X_{2}$ とするのは誤りです。正しくは粗い方が残り、 $Z = E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{1}] = 4 X_{1}$ になります。
$G$ 可測でない因子まで外に出してしまう誤り。例題で $E [X_{1} X_{2} X_{3}^{2} ∣ G_{1}] = X_{1} X_{2} E [X_{3}^{2}] = 8 X_{1} X_{2}$ とするのは誤りです。 $X_{2}$ は $G_{1} = σ (X_{1})$ 可測ではないので、外に出せません。正しくは $X_{2} X_{3}^{2}$ をまとめて独立な因子として扱い、 $X_{1} E [X_{2} X_{3}^{2}] = 4 X_{1}$ とします。
一般に $E [X Y ∣ G] = E [X ∣ G] E [Y ∣ G]$ としてしまう誤り。これは一方が $G$ 可測である場合などに限って成り立ちます。例えば $G = {\emptyset, Ω}$ 、 $X = Y$ のとき、左辺は $E [X^{2}]$ 、右辺は $(E [X])^{2}$ で、一般には異なります。
$E [X ∣ G]$ を数として扱ったり、等式が各点で成り立つとしたりする誤り。正しくは、 $E [X ∣ G]$ は $G$ 可測な確率変数で、等式は a.s. の意味です。また、 $X$ や $W X$ が可積分であるという前提が必要です。 $E ∣ W X ∣ = \infty$ のときは、取り出しの式をそのまま使えません。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

マルチンゲール（大学院数学確率論）