確率論の問題

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上に、互いに独立な確率変数 $X,Y$ があり、$X$ は区間 $[0,1]$ 上の一様分布に、$Y$ は区間 $[1,3]$ 上の一様分布に従うとする。$\mathcal{G}=\sigma (X)$（$X$ が生成する σ 加法族）、$\mathcal{H}=\sigma (X,Y)$ とおき、$Z=X^{2}Y$ とする。このとき
$$E[X\cdot E[E[Z\mid \mathcal{H}]\left|\mathcal{G}\right]]$$
の値を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{3}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{5}$$ を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とし、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$（${\mathcal{F}}_0$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=4\}$$ を考える（$\inf \varnothing =\infty$）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{1}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{3}$$
を満たすものとする。$X_0=2$、$X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。これは、所持金 $2$ 円のギャンブラーが、勝つ確率 $\frac{1}{3}$ で $1$ 円を得て、負ける確率 $\frac{2}{3}$ で $1$ 円を失う賭けを繰り返すときの、$n$ 回後の所持金を表す。

$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=0\text{または}{X}_n=5\}$$
とする。つまり、所持金が $0$ 円になるか $5$ 円になった時点で賭けをやめる。賭けをやめるまでの回数の期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
を満たすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left[\exp \left(it\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right](t\text{ は実数})$$
とする。$t$ を固定した実数とするとき、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。