この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

確率変数 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots$ は独立で同じ分布に従い、
$P (X_{k} = 1) = \frac{1}{4}, P (X_{k} = - 1) = \frac{1}{4}, P (X_{k} = 0) = \frac{1}{2}$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ とおき、 $\frac{S _{n}}{n}$ の特性関数を
$φ_{n} (t) = E (e^{i t S_{n} / n}) (t は実数)$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $n \to \infty lim φ_{n} (t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

この問題で使うもの

特性関数（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）
テイラー展開（説明と入口の問題）
自然対数の底 $e$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（84 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

中心極限定理を特性関数で導く方法を使う。まず $X_{1}$ の特性関数を求め、独立性を使って $φ_{n} (t)$ を $X_{1}$ の特性関数の $n$ 乗で表そう。

ヒント 2

$φ_{n} (t) = (φ (t / n))^{n}$ である。 $cos u = 1 - \frac{u ^{2}}{2} + O (u^{4})$ を使って $φ (t / n)$ を $1 + (定数) / n + O (1/ n^{2})$ の形に展開しよう。

ヒント 3

$φ (t) = \frac{1 + c o s t}{2}$ より $φ (t / n) = 1 - \frac{t ^{2}}{4 n} + O (1/ n^{2})$ となる。あとは $(1 + a_{n})^{n}$ で $n a_{n}$ が収束する場合の極限を、対数をとって計算する。

答えと解説

答えを見る

e^{- \frac{t ^{2}}{4}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1：1 個の特性関数を求める。
$X_{1}$ の特性関数を $φ (t) = E (e^{i t X_{1}})$ とすると、オイラーの公式から
$φ (t) = \frac{1}{4} e^{i t} + \frac{1}{4} e^{- i t} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} cos t + \frac{1}{2} = \frac{1 + cos t}{2} .$

手順 2：独立性で和の特性関数を積に直す。
$X_{1}, \dots, X_{n}$ は独立なので $e^{i t X_{1} / n}, \dots, e^{i t X_{n} / n}$ も独立であり、期待値は積に分かれる。同分布なので
$φ_{n} (t) = E (k = 1 \prod n e^{i t X_{k} / n}) = k = 1 \prod n E (e^{i (t / n) X_{k}}) = (φ (\frac{t}{n}))^{n} = (\frac{1 + cos \frac{t}{n}}{2})^{n} .$

手順 3：特性関数を 2 次まで展開する。
$t = 0$ なら $φ_{n} (0) = 1$ で、極限は $1$ である。以下 $t \neq = 0$ とする。 $cos u = 1 - \frac{u ^{2}}{2} + O (u^{4}) (u \to 0)$ より、 $u = \frac{t}{n}$ として
$φ (\frac{t}{n}) = \frac{1}{2} (2 - \frac{t ^{2}}{2 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})) = 1 - \frac{t ^{2}}{4 n} + O (\frac{1}{n ^{2}}) .$
ここで $- \frac{t ^{2}}{4}$ の係数 $\frac{1}{4}$ は $\frac{V ( X _{1} )}{2}$ に当たる。実際 $E (X_{1}) = 0$ 、 $V (X_{1}) = E (X_{1}^{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ である。

手順 4： $(1 + a_{n})^{n}$ の極限を求める。
$a_{n} = φ (t / n) - 1 = - \frac{t ^{2}}{4 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})$ とおくと、 $a_{n} \to 0$ かつ $n a_{n} \to - \frac{t ^{2}}{4}$ である。 $n$ が十分大きければ $a_{n}$ は実数で $1 + a_{n} > 0$ であり、 $a_{n} \neq = 0$ でもあるので
$lo g φ_{n} (t) = n lo g (1 + a_{n}) = n a_{n} \cdot \frac{lo g ( 1 + a _{n} )}{a _{n}} .$
$x \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + x )}{x} = 1$ より
$lo g φ_{n} (t) \to - \frac{t ^{2}}{4} \cdot 1 = - \frac{t ^{2}}{4}$
となる。指数関数の連続性から
$n \to \infty lim φ_{n} (t) = e^{- t^{2} /4} .$
この式は $t = 0$ のときも値 $1$ を与える。

まとめ： $e^{- t^{2} /4}$ は正規分布 $N (0, \frac{1}{2})$ の特性関数 $e^{- σ^{2} t^{2} /2} (σ^{2} = \frac{1}{2})$ である。したがってレヴィの連続性定理により、 $\frac{S _{n}}{n}$ は $N (0, \frac{1}{2})$ に分布収束する（中心極限定理）。

答え： $e^{- t^{2} /4}$

別解

$X_{k}$ の分散は $E [X_{k}^{2}] = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 、平均は 0 なので $σ^{2} = \frac{1}{2}$ 。
$X_{k}$ の特性関数は $φ (s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (e^{i s} + e^{- i s}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos s = cos^{2} (s /2)$ 。
よって $φ_{n} (t) = (\frac{1 + c o s ( t / n )}{2})^{n}$ 。
$cos u = 1 - \frac{u ^{2}}{2} + O (u^{4})$ より、 $\frac{1 + c o s u}{2} = 1 - \frac{u ^{2}}{4} + O (u^{4})$ 。 $u = t / n$ として $φ_{n} (t) = (1 - \frac{t ^{2}}{4 n} + O (n^{- 2}))^{n} \to e^{- t^{2} /4}$ 。
別解：中心極限定理により $S_{n} / n \to N (0, 1/2)$ で、その特性関数は $e^{- σ^{2} t^{2} /2} = e^{- t^{2} /4}$ 。一致する。
検算： $cos^{2 n} (t / (2 n)) \approx (1 - t^{2} / (8 n))^{2 n} \to e^{- t^{2} /4}$ 。

確率論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題