この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$n \geq 2$ を整数とします。確率変数 $X_{n}$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとします。すなわち
$P (X_{n} = k) = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n})^{k - 1} (k = 1, 2, 3, \dots)$
です。 $Y_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ とおきます。特性関数を用いて $Y_{n}$ の分布の極限を調べ、極限
$n \to \infty lim P (Y_{n} > 2)$
を求めてください。ただし $i$ は虚数単位です。

この問題で使うもの

特性関数（説明と入口の問題）
特性関数の性質と反転公式（説明と入口の問題）
幾何分布・ポアソン分布（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

特性関数の収束で分布の収束を調べる技能（レヴィの連続性定理と一意性定理）を使います。まず $Y_{n}$ の特性関数を求めましょう。

ヒント 2

幾何分布の特性関数は $\frac{p e ^{i t}}{1 - ( 1 - p ) e ^{i t}}$ です。 $Y_{n}$ の特性関数は $φ_{Y_{n}} (t) = φ_{X_{n}} (t / n)$ で求められます。 $n (1 - e^{i t / n}) \to - i t$ を使いましょう。

ヒント 3

$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{e ^{i t / n}}{n ( 1 - e ^{i t / n} ) + e ^{i t / n}} \to \frac{1}{1 - i t}$ となります。これがどの連続分布の特性関数かを考え、 $P (Y > 2)$ を計算しましょう。

答えと解説

答えを見る

e^{- 2}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針　 $Y_{n}$ の特性関数の各点極限を求めます。その極限がある分布の特性関数と一致し、かつ $t = 0$ で連続であれば、レヴィの連続性定理により $Y_{n}$ はその分布に法収束します。極限の分布は一意性定理によって特性関数から一つに定まります。

1. $X_{n}$ の特性関数　 $p = \frac{1}{n}$ とおきます。 $∣ (1 - p) e^{i t} ∣ < 1$ なので無限等比級数は収束し、
$φ_{X_{n}} (t) = k = 1 \sum \infty e^{i t k} p (1 - p)^{k - 1} = \frac{p e ^{i t}}{1 - ( 1 - p ) e ^{i t}}$
となります。

2. $Y_{n} = X_{n} / n$ の特性関数　 $φ_{Y_{n}} (t) = E [e^{i t X_{n} / n}] = φ_{X_{n}} (t / n)$ です。分子と分母に $n$ を掛けると
$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{\frac{1}{n} e ^{i t / n}}{1 - ( 1 - \frac{1}{n} ) e ^{i t / n}} = \frac{e ^{i t / n}}{n ( 1 - e ^{i t / n} ) + e ^{i t / n}}$
となります。

3. 極限を求める　 $t \neq = 0$ のとき $s = t / n$ とおきます。 $n \to \infty$ で $s \to 0$ であり、
$n (1 - e^{i t / n}) = - t \cdot \frac{e ^{i s} - 1}{s} \to - t \cdot \frac{d}{d s} e^{i s}_{s = 0} = - i t$
が成り立ちます。 $t = 0$ のときはこの式の値は常に $0$ なので、同じ結論になります。また $e^{i t / n} \to 1$ です。したがって
$n \to \infty lim φ_{Y_{n}} (t) = \frac{1}{1 - i t} (t \in R)$
です。

4. 極限の関数がどの分布の特性関数かを確かめる　 $Y$ を平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{- x}$ , $x > 0$ ）に従う確率変数とすると、
$E [e^{i t Y}] = \int_{0}^{\infty} e^{(i t - 1) x} d x = [\frac{e ^{(i t - 1) x}}{i t - 1}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{1 - i t}$
となります。 $∣ e^{(i t - 1) x} ∣ = e^{- x} \to 0$ なので、上端での値は $0$ です。

極限の関数 $\frac{1}{1 - i t}$ は $t = 0$ で連続です。よってレヴィの連続性定理により、 $Y_{n}$ は $Y$ に法収束します。一意性定理から、極限の分布はこの指数分布に限られます。

5. 確率の極限　 $Y$ の分布関数は連続なので、すべての点が連続点です。したがって
$n \to \infty lim P (Y_{n} > 2) = P (Y > 2) = \int_{2}^{\infty} e^{- x} d x = e^{- 2}$
となります。

別解

$X_{n}$ の特性関数は、 $p = 1/ n$ 、 $q = 1 - p$ として $φ_{X_{n}} (t) = \frac{p e ^{i t}}{1 - q e ^{i t}}$ です。
$Y_{n} = X_{n} / n$ なので、 $φ_{Y_{n}} (t) = φ_{X_{n}} (t / n) = \frac{( 1/ n ) e ^{i t / n}}{1 - ( 1 - 1/ n ) e ^{i t / n}}$ となります。
分母を展開します。 $e^{i t / n} = 1 + \frac{i t}{n} + O (n^{- 2})$ より、 $1 - (1 - \frac{1}{n}) (1 + \frac{i t}{n} + O (n^{- 2})) = 1 - 1 - \frac{i t}{n} + \frac{1}{n} + O (n^{- 2}) = \frac{1 - i t}{n} + O (n^{- 2})$ です。
分子は $\frac{1}{n} (1 + O (1/ n))$ です。
したがって $φ_{Y_{n}} (t) \to \frac{1}{1 - i t}$ ( $n \to \infty$ ) です。これは指数分布 Exp(1) の特性関数です。
レヴィの連続性定理により、 $Y_{n}$ は Exp(1) に法則収束します。
$P (Y > 2) = e^{- 2}$ で、 $y = 2$ は極限分布の連続点なので、 $lim P (Y_{n} > 2) = e^{- 2}$ です。
検算として、直接計算すると $P (X_{n} > 2 n) = (1 - 1/ n)^{⌊ 2 n ⌋} = (1 - 1/ n)^{2 n} \to e^{- 2}$ となり、一致します。ここで $P (Y_{n} > 2) = P (X_{n} > 2 n) = q^{2 n}$ で、 $2 n$ は整数です。

確率論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題