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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$n \geq 2$ を整数とする。確率変数 $X_{n}$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$P (X_{n} = k) = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n})^{k - 1} (k = 1, 2, 3, \dots)$
である。 $Y_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ とおく。 $Y_{n}$ の特性関数 $φ_{Y_{n}} (t) = E [e^{i t Y_{n}}]$ の $n \to \infty$ における極限を求めて $Y_{n}$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$n \to \infty lim P (X_{n} > 2 n)$
を求めよ。

この問題で使うもの

無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）
特性関数（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）
特性関数の性質と反転公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性関数の収束で分布の収束を調べる技能（レヴィの連続性定理と特性関数による分布の一意性）を使う。まず $Y_{n}$ の特性関数を求めよう。

ヒント 2

$φ_{Y_{n}} (t) = φ_{X_{n}} (t / n)$ であり、幾何分布の特性関数は等比級数の和 $\frac{p e ^{i t}}{1 - ( 1 - p ) e ^{i t}}$ で求まる。分母では $n (1 - e^{i t / n}) \to - i t$ を使う。

ヒント 3

$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{e ^{i t / n}}{n ( 1 - e ^{i t / n} ) + e ^{i t / n}} \to \frac{1}{1 - i t}$ 。これは指数分布 $Exp (1)$ の特性関数である。あとは $P (Y_{n} > 2)$ の極限を考える。

答えと解説

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e^{- 2}

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解説を読む

手順1： $X_{n}$ の特性関数を求める。 $p = \frac{1}{n}$ , $q = 1 - p$ とおく。 $∣ q e^{i t} ∣ = q < 1$ なので無限等比級数が収束して
$φ_{X_{n}} (t) = k = 1 \sum \infty e^{i t k} p q^{k - 1} = p e^{i t} k = 1 \sum \infty (q e^{i t})^{k - 1} = \frac{p e ^{i t}}{1 - q e ^{i t}} .$

手順2： $Y_{n} = X_{n} / n$ の特性関数を求める。 $φ_{Y_{n}} (t) = E [e^{i (t / n) X_{n}}] = φ_{X_{n}} (t / n)$ より
$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{\frac{1}{n} e ^{i t / n}}{1 - ( 1 - \frac{1}{n} ) e ^{i t / n}} .$
分母・分子に $n$ を掛けると
$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{e ^{i t / n}}{n ( 1 - e ^{i t / n} ) + e ^{i t / n}} .$

手順3：極限をとる。 $t \neq = 0$ のとき $h = t / n$ とおくと、オイラーの公式と $\frac{d}{d x} e^{i x}_{x = 0} = i$ より
$n (1 - e^{i t / n}) = - t \cdot \frac{e ^{ih} - 1}{h} \to - i t (n \to \infty) .$
$t = 0$ のときは $0$ で、これも $- i t = 0$ と一致する。また $e^{i t / n} \to 1$ 。よって各 $t \in R$ で
$n \to \infty lim φ_{Y_{n}} (t) = \frac{1}{1 - i t} .$

手順4：極限関数がどの分布の特性関数かを確かめる。 指数分布 $Exp (1)$ （密度 $e^{- x}$ , $x \geq 0$ ）に従う $Y$ について
$E [e^{i t Y}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} e^{- x} d x = [\frac{e ^{(i t - 1) x}}{i t - 1}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{1 - i t}$
（ $∣ e^{(i t - 1) x} ∣ = e^{- x} \to 0$ ）。特性関数は分布を一意に決めるので、極限 $\frac{1}{1 - i t}$ は $Exp (1)$ の特性関数そのものであり、これは $t = 0$ で連続である。

手順5：分布の収束へ。 レヴィの連続性定理により、特性関数が各点で（ $t = 0$ で連続な関数に）収束するので $Y_{n}$ は $Exp (1)$ に分布収束する。 $Exp (1)$ の分布関数 $F (x) = 1 - e^{- x}$ $(x \geq 0)$ は $x = 2$ で連続だから
$P (X_{n} > 2 n) = P (Y_{n} > 2) = 1 - P (Y_{n} \leq 2) \to 1 - F (2) = e^{- 2} .$

（確認：直接計算すると $P (X_{n} > 2 n) = (1 - \frac{1}{n})^{2 n} \to e^{- 2}$ で一致する。）

答え： $e^{- 2}$

別解

p=1/n, q=1-1/n とおく。特性関数は $φ_{Y_{n}} (t) = E [e^{i t X_{n} / n}] = \sum_{k \geq 1} p q^{k - 1} e^{i t k / n} = \frac{p e ^{i t / n}}{1 - q e ^{i t / n}}$ 。

分母を展開する。 $e^{i t / n} = 1 + i t / n + O (1/ n^{2})$ より $1 - q e^{i t / n} = 1 - (1 - 1/ n) (1 + i t / n + O (n^{- 2})) = \frac{1}{n} - \frac{i t}{n} + O (n^{- 2}) = \frac{1 - i t}{n} + O (n^{- 2})$ 。分子は $\frac{1}{n} e^{i t / n} = \frac{1}{n} (1 + O (1/ n))$ 。よって $φ_{Y_{n}} (t) \to \frac{1}{1 - i t}$ ( $n \to \infty$ )。

これは指数分布 Exp(1)（密度 $e^{- x}$ , $x > 0$ ）の特性関数 $\int_{0}^{\infty} e^{i t x} e^{- x} d x = \frac{1}{1 - i t}$ である。Lévy の連続性定理より $Y_{n}$ は Exp(1) に法則収束する。

$P (X_{n} > 2 n) = P (Y_{n} > 2)$ 。Exp(1) の分布関数は $x = 2$ で連続なので、 $P (Y_{n} > 2) \to e^{- 2}$ 。

検算：直接計算すると $P (X_{n} > 2 n) = (1 - 1/ n)^{⌊ 2 n ⌋} = (1 - 1/ n)^{2 n} \to e^{- 2}$ 。一致する。

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