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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$n$ を正の整数とし、実数値確率変数 $Y_{n}$ の特性関数が
$φ_{n} (t) = E [e^{i t Y_{n}}] = \frac{1}{1 + 4 n ( n - 1 ) sin ^{2} \frac{t}{2 n}} (t \in R)$
で与えられているとする。極限
$n \to \infty lim P (∣ Y_{n} ∣ \leq lo g 3)$
を求めよ。

この問題で使うもの

$sin x / x$ の極限（説明と入口の問題）
特性関数（説明と入口の問題）
特性関数の性質と反転公式（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「特性関数の性質と反転公式」を使います。まず $n \to \infty$ で $φ_{n} (t)$ が各点でどんな関数に収束するかを調べ、その関数がどの分布の特性関数かを特定しましょう。

ヒント 2

$4 n (n - 1) sin^{2} \frac{t}{2 n} = \frac{n - 1}{n} t^{2} (\frac{s i n ( t /2 n )}{t /2 n})^{2}$ と変形します。極限の関数は $\frac{1}{1 + t ^{2}}$ となり、これは密度 $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ の分布の特性関数です（実際に積分して確かめましょう）。

ヒント 3

レヴィの連続性定理より、 $Y_{n}$ は密度 $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ の分布に分布収束します。極限分布は連続なので、求める極限は $\int_{- l o g 3}^{l o g 3} \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} d x$ です。

答えと解説

答えを見る

\frac{2}{3}

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解説を読む

方針. 特性関数の各点収束を調べ、極限の関数がどの分布の特性関数かを特定します。そのうえで、特性関数の一意性とレヴィの連続性定理を使って $Y_{n}$ の分布収束を示し、確率の極限を計算します。

Step 1: 特性関数の極限. $t = 0$ のときは $φ_{n} (0) = 1$ です。 $t \neq = 0$ のときは、
$4 n (n - 1) sin^{2} \frac{t}{2 n} = \frac{n - 1}{n} t^{2} (\frac{sin \frac{t}{2 n}}{\frac{t}{2 n}})^{2}$
と変形できます。 $n \to \infty$ で $\frac{t}{2 n} \to 0$ なので、 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ よりこの式は $t^{2}$ に収束します。したがってすべての実数 $t$ で
$φ_{n} (t) \to φ (t) = \frac{1}{1 + t ^{2}}$
が成り立ち、 $φ$ は $t = 0$ で連続です。

Step 2: 極限の関数がどの分布の特性関数か. 密度 $f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ （ラプラス分布）をもつ確率変数 $Z$ の特性関数を計算します。
$E [e^{i tZ}] = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- x} (e^{i t x} + e^{- i t x}) d x = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - i t} + \frac{1}{1 + i t}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{1 + t ^{2}} .$
ここで $\int_{0}^{\infty} e^{- (1 \mp i t) x} d x = \frac{1}{1 \mp i t}$ を用いました（ $∣ e^{- (1 \mp i t) x} ∣ = e^{- x}$ なので、広義積分は $e^{- (1 \mp i t) R} \to 0$ により収束します）。

Step 3: 分布収束. 特性関数は分布を一意に決めるので、 $φ$ はラプラス分布の特性関数です。 $φ_{n} \to φ$ が各点で成り立ち、 $φ$ は $0$ で連続なので、レヴィの連続性定理により $Y_{n}$ は $Z$ に分布収束します。

Step 4: 確率の極限. $Z$ の分布関数は連続なので、 $P (Z = \pm lo g 3) = 0$ です。区間 $[- lo g 3, lo g 3]$ の境界は極限分布で確率 $0$ なので、
$n \to \infty lim P (∣ Y_{n} ∣ \leq lo g 3) = P (∣ Z ∣ \leq lo g 3)$
が成り立ちます。この値は
$P (∣ Z ∣ \leq lo g 3) = 2 \int_{0}^{l o g 3} \frac{1}{2} e^{- x} d x = 1 - e^{- l o g 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
です。

答え: $\frac{2}{3}$

別解

$n \to \infty$ のとき、 $sin \frac{t}{2 n} \sim \frac{t}{2 n}$ なので $4 n (n - 1) sin^{2} \frac{t}{2 n} \to t^{2}$ である。したがって各 $t$ について $φ_{n} (t) \to \frac{1}{1 + t ^{2}}$ となる。

$\frac{1}{1 + t ^{2}}$ はラプラス分布（密度 $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ ）の特性関数で、 $t = 0$ で連続である。よってレヴィの連続性定理により、 $Y_{n}$ はこの分布に法則収束する。

極限分布は連続分布なので、 $\pm lo g 3$ は連続点である。したがって
$n \to \infty lim P (∣ Y_{n} ∣ \leq lo g 3) = \int_{- l o g 3}^{l o g 3} \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} d x = 1 - e^{- l o g 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .$

検算: ラプラス分布の特性関数は $\int \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} e^{i t x} d x = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ であり、一致する。

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