確率論の問題

分布の特定. $U$ を区間 $[-1,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とすると
$$E[e^{itU}]=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1{e}^{itu}du=\frac{\sin t}{t}$$
である。また密度 $\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ をもつラプラス分布に従う $L$ については
$$E[e^{itL}]=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}{e}^{-|x|}dx=\mathrm{Re}{\int }_0^{\infty }{e}^{(it-1)x}dx=\mathrm{Re}\frac{1}{1-it}=\frac{1}{1+t^2}$$
である。

$U_1,U_2,L$ を独立にとり $Y=U_1+U_2+L$ とおく。独立な確率変数の和の特性関数は各特性関数の積なので
$${\phi }_Y(t)={\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2\frac{1}{1+t^2}={\phi }_X(t)$$
となる。特性関数は分布を一意に定めるから、$X$ と $Y$ は同分布である。

密度の計算. $U_1+U_2$ の密度は $g(y)=\frac{2-|y|}{4}(|y|\le 2)$、$|y|>2$ では $0$ である。$L$ の密度を $h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ とすると、$X$ の密度は畳み込み $f=g\ast h$ である。これは連続なので、問題文の連続な密度と一致する。よって
$$f(2)={\int }_{-2}^2\frac{2-|y|}{4}\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|2-y|}dy.$$
$-2\le y\le 2$ では $2-y\ge 0$ なので $e^{-|2-y|}=e^{y-2}$ であり、
$$f(2)=\frac{e^{-2}}{8}{\int }_{-2}^2(2-|y|)e^{y}dy.$$
区間を分けて計算する。
$${\int }_0^2(2-y)e^{y}dy=2(e^2-1)-[(y-1)e^y{]}_0^2=2e^2-2-(e^2+1)=e^2-3,$$
$${\int }_{-2}^0(2+y)e^{y}dy=2(1-e^{-2})+[(y-1)e^y{]}_{-2}^0=2-2e^{-2}-1+3e^{-2}=1+e^{-2}.$$
和は $e^2-2+e^{-2}=(e-e^{-1}{)}^2$ である。したがって
$$f(2)=\frac{e^{-2}(e-e^{-1}{)}^2}{8}=\frac{(1-e^{-2}{)}^2}{8}.$$

検算（反転公式）. ${\phi }_X$ は実数値の偶関数で可積分なので $f(2)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_X(t)\cos 2tdt$ である。

• 分子は ${\sin }^{2}t\cos 2t=-\frac{1}{2}(1-\cos 2t)+\frac{1}{4}(1-\cos 4t)$ と書ける。
• 部分分数分解は $\frac{1}{t^2(1+t^2)}=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{1+t^2}$ である。
• 公式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1-\cos at}{t^2}dt=\pi |a|$ により、$\frac{1}{t^2}$ の部分は $-\frac{1}{2}\cdot 2\pi +\frac{1}{4}\cdot 4\pi =0$ になる。
• 公式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos at}{1+t^2}dt=\pi e^{-|a|}$ により、$\frac{1}{1+t^2}$ の部分は $-\left(-\frac{\pi }{2}(1-e^{-2})+\frac{\pi }{4}(1-e^{-4})\right)=\frac{\pi }{4}(1-e^{-2}{)}^2$ になる。

よって $f(2)=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{\pi }{4}(1-e^{-2}{)}^2=\frac{(1-e^{-2}{)}^2}{8}$ となり、上の結果と一致する。

答え: $\frac{(1-e^{-2}{)}^2}{8}$

${\phi }_X(t)={\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+t^2}$ と分解する。

• ${\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2$ は、独立な 2 つの $U[-1,1]$ の和の特性関数であり、その密度は $g(x)=\frac{2-|x|}{4}$ ($|x|\le 2$) である。
• $\frac{1}{1+t^2}$ はラプラス分布の特性関数であり、その密度は $h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ である。

特性関数の積は独立な和の特性関数なので、$X$ の密度は $f=g\ast h$ である。

$$f(2)={\int }_{-2}^{2}g(y)h(2-y)dy=\frac{1}{8}{\int }_{-2}^2(2-|y|)e^{y-2}dy.$$

ここで $y\le 2$ なので $|2-y|=2-y$ を使った。

$I={\int }_{-2}^2(2-|y|)e^{y}dy$ を計算する。
- ${\int }_0^2(2-y)e^{y}dy={\left[(3-y)e^y\right]}_0^2=e^2-3$
- ${\int }_{-2}^0(2+y)e^{y}dy={\left[(1+y)e^y\right]}_{-2}^0=1+e^{-2}$

よって $I=e^2-2+e^{-2}$ である。

$$f(2)=\frac{e^{-2}}{8}\left(e^2-2+e^{-2}\right)=\frac{(1-e^{-2}{)}^2}{8}.$$

確認: 値は正であり、$f=g\ast h$ は連続な密度である。また $\phi$ は可積分なので、反転公式で得られる密度と一致する。