確率論の問題

方針. まず「$|\phi (t)|=1$ ならば $e^{itX}$ はほとんど確実に定数である」ことを示す（補題）。これを $t=m,n$ に適用し、ベズーの等式 $um+vn=1$ を使って $e^{iX}$ を $e^{imX}$ と $e^{inX}$ の整数べきの積で表す。

補題. $t\in \mathbb{R}$ が $|\phi (t)|=1$ を満たすならば、$\omega =\phi (t)$ とおくと $|\omega |=1$ であり、$P\left(e^{itX}=\omega \right)=1$ である。

*証明.* $Z=e^{itX}$ とおくと $|Z|=1$ なので $Z$ は有界で可積分であり、$E[Z]=\phi (t)=\omega$ である。$|Z{|}^2=1$, $|\omega {|}^2=1$ に注意して
$$|Z-\omega {|}^2=(Z-\omega )\overline{(Z-\omega )}=|Z{|}^2-2\mathrm{Re}\left(\overline{\omega }Z\right)+|\omega {|}^2=2-2\mathrm{Re}(\overline{\omega }Z).$$
期待値の線形性と、複素数値確率変数の期待値の実部が実部の期待値であることから
$$E[|Z-\omega {|}^2]=2-2\mathrm{Re}(\overline{\omega }E[Z])=2-2\mathrm{Re}(\overline{\omega }\omega )=2-2|\omega {|}^2=0.$$
$W=|Z-\omega {|}^2$ は非負の確率変数で $E[W]=0$ である。各 $k\ge 1$ に対してマルコフの不等式より $P(W>1/k)\le kE[W]=0$ であり、$\{W>0\}={\bigcup }_{k\ge 1}\{W>1/k\}$ なので $P(W>0)=0$ である。よって $W=0$ a.s.、すなわち $e^{itX}=\omega$ a.s. である。$\square$

本証明. 補題を $t=m$ と $t=n$ に適用すると、$|{\omega }_1|=|{\omega }_2|=1$ を満たす複素数 ${\omega }_1=\phi (m)$, ${\omega }_2=\phi (n)$ があって
$$P\left(e^{imX}={\omega }_1\right)=1,P\left(e^{inX}={\omega }_2\right)=1$$
である。$A=\{e^{imX}={\omega }_1\}\cap \{e^{inX}={\omega }_2\}$ とおくと、
$$P(A^c)\le P\left(e^{imX}\ne {\omega }_1\right)+P\left(e^{inX}\ne {\omega }_2\right)=0$$
より $P(A)=1$ である。

$m,n$ は互いに素なので、ベズーの等式より $um+vn=1$ を満たす整数 $u,v$ が存在する。任意の実数 $x$ に対して、指数法則（整数 $u,v$ について $e^{iumx}=(e^{imx}{)}^u$ であり、$e^{imx}\ne 0$ なので負のべきも意味をもつ）より
$$e^{ix}=e^{i(um+vn)x}=e^{iumx}{e}^{ivnx}={\left(e^{imx}\right)}^u{\left(e^{inx}\right)}^v$$
が成り立つ。$x=X({\omega }^{\prime })$（${\omega }^{\prime }\in A$）に適用すると、$A$ 上で
$$e^{iX}={\omega }_1^u{\omega }_2^v$$
である。${\omega }_0={\omega }_1^u{\omega }_2^v$ とおくと $|{\omega }_0|=|{\omega }_1{|}^u|{\omega }_2{|}^v=1$ である。$P(A)=1$ なので $e^{iX}={\omega }_0$ a.s. であり、ほとんど確実に等しい有界な確率変数の期待値は等しいから
$$\phi (1)=E\left[e^{iX}\right]=E[{\omega }_0]={\omega }_0.$$
よって $|\phi (1)|=|{\omega }_0|=1$ である。

結論. 互いに素な正の整数 $m,n$ について $|\phi (m)|=|\phi (n)|=1$ ならば、$|\phi (1)|=1$ である。$■$