確率論の問題

方法 1（分布の分解）. $\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$ は $P(B=1)=P(B=-1)=\frac{1}{2}$ をみたす確率変数 $B$ の特性関数である。また、密度 $g(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ をもつラプラス分布に従う $L$ の特性関数は
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}\frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-it}+\frac{1}{1+it}\right)=\frac{1}{1+t^2}$$
である。独立な確率変数の和の特性関数は積になるので、$B$ と $L$ を独立にとると $B+L$ の特性関数は $\frac{\cos t}{1+t^2}$ となり、特性関数は分布を一意に定めるから $X\stackrel{d}{=}B+L$ である。

$L$ のモーメントは $E[L^{2k}]={\int }_0^{\infty }{x}^{2k}{e}^{-x}dx=(2k)!$、奇数次は $0$。$B$ は $B^2=1$、奇数次モーメントは $0$。二項展開して独立性を使うと
$$E[(B+L{)}^4]=E[B^4]+6E[B^2]E[L^2]+E[L^4]=1+6\cdot 1\cdot 2+24=37.$$

方法 2（展開）. $t=0$ の近くで
$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\cdots ,\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots$$
なので、${\phi }_X(t)$ の $t^4$ の係数は $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{24}=\frac{37}{24}$。${\phi }_X$ は $0$ の近くで解析的なので $X$ はすべての次数のモーメントをもち、${\phi }_X(t)={\sum }_k\frac{(it{)}^k}{k!}E[X^k]$ である。$t^4$ の係数を比べて $\frac{E[X^4]}{24}=\frac{37}{24}$、よって $E[X^4]=37$。

${\phi }_X$ は $t=0$ で解析的（$|t|<1$ で冪級数展開可能）なので、${\phi }_X$ は 4 回微分可能で、$E[X^4]<\infty$ かつ ${\phi }_X^{(4)}(0)=i^{4}E[X^4]=E[X^4]$。
$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\cdots$、$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots$ より、積の $t^4$ の係数は $1\cdot 1+\left(-\frac{1}{2}\right)(-1)+\frac{1}{24}\cdot 1=\frac{37}{24}$。
よって ${\phi }_X^{(4)}(0)=4!\cdot \frac{37}{24}=37$。
検算: $t^2$ の係数は $-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$ なので $E[X^2]=3$。実際 $X=L+\epsilon$（$L$ は標準ラプラス分布で分散 2、$\epsilon =\pm 1$ は独立）とすると分散 $2+1=3$ で一致。また $E[X^4]=E[L^4]+6E[L^2]E[{\epsilon }^2]+E[{\epsilon }^4]=24+12+1=37$ で一致する。
答え: $E[X^4]=37$。