特性関数

特性関数 $φ (t) = E (e^{i tX})$ を基本的な分布について求められる

前提

積率母関数（大学数学確率・統計）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
積率母関数（大学数学確率・統計）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

確率変数 $X$ と実数 $t$ に対して $φ (t) = E (e^{i tX})$ と定めた関数を、 $X$ の特性関数といいます。積率母関数 $M (t) = E (e^{tX})$ の $e^{tX}$ を、絶対値が 1 の複素数 $e^{i tX}$ に取り替えたものです。積率母関数は分布によっては存在しませんが、特性関数はどんな分布でもすべての実数 $t$ で定まります。そのため、分布を調べる道具として広く使われます。ここでは、二項分布・ポアソン分布・一様分布・指数分布などについて、特性関数を具体的に計算できるようになることを目指します。

なぜそうしてよいのか

オイラーの公式から $e^{i tX} = cos (tX) + i sin (tX)$ です。そこで、複素数の値をとる量の期待値を、実部と虚部それぞれの期待値で $φ (t) = E (cos tX) + i E (sin tX)$ と定めます。積分も同様に、 $\int (u + i v) d x = \int u d x + i \int v d x$ と実部・虚部ごとに定義します。 $∣ e^{i tX} ∣ = cos^{2} tX + sin^{2} tX = 1$ なので、被積分関数（または和の各項）の大きさは確率密度（または確率）そのもので抑えられます。だから和や積分は必ず収束し、 $φ (t)$ はすべての実数 $t$ で存在します。 $e^{tX}$ は $t > 0$ で急激に大きくなりうるため、積率母関数ではこうはいきません。

計算では、実数の指数関数で慣れた規則が複素数の指数でもそのまま使えることがかぎになります。 $c = a + ib$ （ $a, b$ は実数）に対し $e^{c x} = e^{a x} (cos b x + i sin b x)$ と定めます。加法定理を使うと $e^{z} e^{w} = e^{z + w}$ が成り立ちます。また、積の微分で $\frac{d}{d x} e^{c x} = a e^{a x} (cos b x + i sin b x) + e^{a x} b (- sin b x + i cos b x) = (a + ib) e^{c x} = c e^{c x}$ となります。したがって $c \neq = 0$ なら $e^{c x}$ の原始関数は $\frac{e ^{c x}}{c}$ です。さらに、等比級数の和 $\sum_{k = 0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1 - r}$ （ $∣ r ∣ < 1$ ）や $e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z ^{n}}{n !}$ も、複素数 $r, z$ についてそのまま成り立ちます。

こうして計算すると、基本的な分布では「積率母関数の式の $t$ を $i t$ に置き換えた形」が得られることが多いです。たとえばポアソン分布（パラメータ $λ$ ）では $M (t) = e^{λ (e^{t} - 1)}$ 、 $φ (t) = e^{λ (e^{i t} - 1)}$ です。ただし、これは計算した結果としてそうなるのであって、置き換えれば必ず正しいという保証はありません。毎回、定義から計算して確かめます。

手順

定義を書く。離散型なら $φ (t) = \sum_{x} e^{i t x} P (X = x)$ 、連続型なら $φ (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{i t x} f (x) d x$ とする。
指数をまとめる。 $e^{i t x} e^{- λ x} = e^{(i t - λ) x}$ や $e^{i t k} p^{k} = (p e^{i t})^{k}$ のように、一つの指数関数またはべきの形に整理する。
実数のときと同じ公式で和や積分を計算する。使う公式は、二項定理、 $\sum r^{k} = \frac{1}{1 - r}$ （ $∣ r ∣ < 1$ ）、 $\sum \frac{z ^{n}}{n !} = e^{z}$ 、 $\int e^{c x} d x = \frac{e ^{c x}}{c}$ （ $c \neq = 0$ ）など。
広義積分の極限や $c = 0$ となる $t$ に注意する。 $∣ e^{(i t - λ) x} ∣ = e^{- λ x}$ のように絶対値で評価して極限を求める。分母が 0 になる $t$ （例： $t = 0$ ）は別に扱う。
検算する。 $φ (0) = 1$ になるか確かめる。必要なら $φ^{'} (0) = i E (X)$ から平均も確かめる。

例題

確率変数 $X$ が確率密度関数 $f (x) = 2 e^{- 2 x} (x \geq 0)$ 、 $f (x) = 0 (x < 0)$ の指数分布に従うとき、 $X$ の特性関数 $φ (t) = E (e^{i tX})$ （ $t$ は実数）を求めよ。

例題の解答

手順1： $x < 0$ では $f (x) = 0$ なので、 $φ (t) = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} \cdot 2 e^{- 2 x} d x$ である。

手順2：指数をまとめると $φ (t) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{(i t - 2) x} d x$ となる。

手順3： $c = i t - 2$ は実部が $- 2$ なので、どんな実数 $t$ でも $c \neq = 0$ である。よって原始関数は $\frac{e ^{(i t - 2) x}}{i t - 2}$ で、 $\int_{0}^{R} e^{(i t - 2) x} d x = \frac{e ^{(i t - 2) R} - 1}{i t - 2}$ となる。

手順4： $∣ e^{(i t - 2) R} ∣ = e^{- 2 R} ∣ e^{i tR} ∣ = e^{- 2 R} \to 0 (R \to \infty)$ なので、 $e^{(i t - 2) R} \to 0$ である。したがって $φ (t) = 2 \cdot \frac{0 - 1}{i t - 2} = \frac{2}{2 - i t}$ となる。分母の実部は 2 なので、すべての実数 $t$ で定まる（必要なら $\frac{4 + 2 i t}{4 + t ^{2}}$ とも書ける）。

手順5： $φ (0) = \frac{2}{2} = 1$ で、条件を満たす。また $φ^{'} (t) = \frac{2 i}{( 2 - i t ) ^{2}}$ より $φ^{'} (0) = \frac{i}{2} = i E (X)$ なので $E (X) = \frac{1}{2}$ となり、指数分布の平均 $\frac{1}{λ} = \frac{1}{2}$ と一致する。

答え： $φ (t) = \frac{2}{2 - i t}$

答え: $\frac{2}{2 - i t}$

よくある誤り

積率母関数と混同して、指数分布の特性関数を $\frac{λ}{λ - t}$ としてしまう誤り。これは $t < λ$ でしか定まらない積率母関数 $M (t)$ です。正しくは $φ (t) = \frac{λ}{λ - i t}$ で、すべての実数 $t$ で定まります。
積分の符号を取り違えて $\frac{λ}{λ + i t}$ としてしまう誤り。 $\int_{0}^{\infty} e^{(i t - λ) x} d x = \frac{0 - 1}{i t - λ} = \frac{1}{λ - i t}$ なので、正しくは $\frac{λ}{λ - i t}$ です。
$e^{(i t - λ) x}$ の $x \to \infty$ での極限を、 $e^{i t x}$ が振動するから存在しないと考えてしまう誤り。正しくは、絶対値で評価して $∣ e^{(i t - λ) x} ∣ = e^{- λ x} \to 0$ なので、極限は 0 です。
区間 $[- 1, 1]$ 上の一様分布で $φ (t) = \frac{s i n t}{t}$ とだけ書いて $t = 0$ を落とす誤り。 $t = 0$ では原始関数 $\frac{e ^{i t x}}{i t}$ が使えません。正しくは $φ (t) = \frac{s i n t}{t} (t \neq = 0)$ 、 $φ (0) = 1$ です。また、期待値を $E (X) = φ^{'} (0)$ とするのも誤りで、正しくは $φ^{'} (0) = i E (X)$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

特性関数の性質と反転公式（大学院数学確率論）