確率・統計の問題

確率変数 $Y$ は値 $1,2,3$ をとり、その確率は
$$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{3},P(Y=3)=\frac{1}{6}$$
である。$Y=y$ $(y=1,2,3)$ が与えられたとき、確率変数 $X$ の条件付き分布は、$1$ から $2y$ までの整数 $1,2,\dots ,2y$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{2y}$ でとる分布である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ はそれぞれ $0$ または $1$ の値をとり、その同時確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求め、それを用いて分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。答えとして $V(2X-Y)$ の値を答えよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{1}{6}$$
$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$ を求め、それを微分することで、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の組で答えよ。

確率変数 $X,Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、同時分布が次のように与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を用いて、分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ と $Y$ は独立であるとする。$X$ は平均 $2$ のポアソン分布に、$Y$ は平均 $3$ のポアソン分布に従う。すなわち、$0$ 以上の整数 $k$ に対して
$$P(X=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!},P(Y=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}$$
である。確率 $P(X+Y=2)$ を求めよ。