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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

確率変数 $X, Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、同時分布が次のように与えられている。
$P (X = 0, Y = 0) = \frac{2}{5}, P (X = 0, Y = 1) = \frac{1}{10}, P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{5}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{3}{10}$
共分散 $Cov (X, Y)$ を用いて、分散 $V (2 X - Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

同時分布・周辺分布と独立性（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の共分散と相関係数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

共分散の公式 $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ と、分散の公式 $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y) + 2 ab Cov (X, Y)$ を使います。 $X$ と $Y$ は独立とは限らないので、 $V (X) + V (Y)$ の形の公式はそのままでは使えません。

ヒント 2

まず周辺分布から $E (X)$ , $E (Y)$ を求めます。 $0$ か $1$ しかとらない確率変数では $X^{2} = X$ が成り立ちます。また、 $X Y = 1$ となるのは $X = Y = 1$ のときだけです。

ヒント 3

$E (X) = \frac{1}{2}$ , $E (Y) = \frac{2}{5}$ , $V (X) = \frac{1}{4}$ , $V (Y) = \frac{6}{25}$ , $E (X Y) = \frac{3}{10}$ となります。ここから共分散を求め、 $a = 2, b = - 1$ として公式に代入します。

答えと解説

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\frac{21}{25}

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解説を読む

手順1：周辺分布と期待値

$X$ と $Y$ の周辺分布を求める。
$P (X = 1) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}, P (Y = 1) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{5}$
$X, Y$ は $0$ か $1$ の値しかとらないので、
$E (X) = \frac{1}{2}, E (Y) = \frac{2}{5}$
である。

手順2：分散

$X^{2} = X$ , $Y^{2} = Y$ であるから、
$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$V (Y) = E (Y^{2}) - {E (Y)}^{2} = \frac{2}{5} - \frac{4}{25} = \frac{6}{25}$

手順3：共分散

$X Y$ が $1$ になるのは $X = 1, Y = 1$ のときだけで、それ以外は $0$ である。よって
$E (X Y) = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10}$
したがって
$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \frac{3}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

手順4： $V (a X + bY)$ の公式

$V (a X + bY) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y) + 2 ab Cov (X, Y)$
に $a = 2, b = - 1$ を代入すると、
$V (2 X - Y) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{6}{25} + 2 \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot \frac{1}{10} = 1 + \frac{6}{25} - \frac{2}{5} = \frac{25 + 6 - 10}{25} = \frac{21}{25}$

（検算： $2 X - Y$ は $0, - 1, 2, 1$ の値をそれぞれ確率 $\frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{5}, \frac{3}{10}$ でとる。 $E (2 X - Y) = \frac{3}{5}$ , $E {(2 X - Y)^{2}} = \frac{6}{5}$ なので、分散は $\frac{6}{5} - \frac{9}{25} = \frac{21}{25}$ となり、一致する。）

答え： $\frac{21}{25}$

別解

周辺分布: P(X=1)=1/5+3/10=1/2, P(Y=1)=1/10+3/10=2/5。よって E[X]=1/2, E[Y]=2/5。
V(X)=1/2·1/2=1/4, V(Y)=2/5·3/5=6/25。
E[XY]=P(X=1,Y=1)=3/10。Cov(X,Y)=3/10−(1/2)(2/5)=3/10−1/5=1/10。
V(2X−Y)=4V(X)+V(Y)−4Cov(X,Y)=1+6/25−4/10=1+6/25−2/5=(25+6−10)/25=21/25。
検算: Z=2X−Y の分布は (0,0)→0 (確率2/5), (0,1)→−1 (1/10), (1,0)→2 (1/5), (1,1)→1 (3/10)。E[Z]=−1/10+2/5+3/10=6/10=3/5 (= 2·1/2−2/5=3/5 で一致)。E[Z²]=1/10+4/5+3/10=6/5。V=6/5−9/25=30/25−9/25=21/25。一致。

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