確率・統計の問題

手順 1：周辺分布と期待値を求める。

$X=1$ となる確率は $P(X=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$ です。$X$ は $0$ か $1$ の値しかとらないので
$$E(X)=0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
となります。

$Y=1$ となる確率は $P(Y=1)=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}$ です。よって
$$E(Y)=\frac{2}{5}$$
となります。

手順 2：分散を求める。

$X$ は $0$ か $1$ の値しかとらないので $X^2=X$ です。よって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$
となります。同様に $Y^2=Y$ なので
$$V(Y)=\frac{2}{5}-\frac{4}{25}=\frac{6}{25}$$
となります。

手順 3：共分散を求める。

$XY$ が $0$ でないのは $X=1,Y=1$ のときだけで、そのとき $XY=1$ です。よって
$$E(XY)=1\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{10}$$
となります。したがって
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{3}{10}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{3}{10}-\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$$
です。

手順 4：$V(aX+bY)$ の公式を使う。

$$V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$$
に $a=2,b=1$ を代入すると
$$V(2X+Y)=4\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{6}{25}+2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{10}=1+\frac{6}{25}+\frac{2}{5}=\frac{25+6+10}{25}=\frac{41}{25}$$
となります。

確認： $2X+Y$ の分布を直接求めると、値 $0,1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{2}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{5},\frac{3}{10}$ でとります。
- 期待値は $E(2X+Y)=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}+\frac{9}{10}=\frac{7}{5}$ です。
- 2 乗の期待値は $E((2X+Y{)}^2)=\frac{1}{10}+\frac{4}{5}+\frac{27}{10}=\frac{18}{5}$ です。
- 分散は $\frac{18}{5}-\frac{49}{25}=\frac{41}{25}$ となり、手順 4 の結果と一致します。

なお、$X$ と $Y$ は独立ではない（$\mathrm{Cov}(X,Y)\ne 0$）ので、$V(2X+Y)=4V(X)+V(Y)$ とすることはできません。

答え：$\frac{41}{25}$

同時分布より、周辺分布は P(X=1)=1/5+3/10=1/2、P(Y=1)=1/10+3/10=2/5 である。

E(X)=1/2、E(Y)=2/5、E(XY)=P(X=1,Y=1)=3/10。

Cov(X,Y)=3/10−(1/2)(2/5)=3/10−1/5=1/10。

X,Y は 0 または 1 の値をとるので X²=X、Y²=Y が成り立つ。よって V(X)=1/2−1/4=1/4、V(Y)=2/5−4/25=6/25。

V(2X+Y)=4V(X)+V(Y)+4Cov(X,Y)=1+6/25+4/10=1+6/25+2/5=(25+6+10)/25=41/25。

検算：Z=2X+Y とおくと、Z の値と確率は次のとおり。(0,0)→0 で 2/5、(0,1)→1 で 1/10、(1,0)→2 で 1/5、(1,1)→3 で 3/10。E(Z)=0.1+0.4+0.9=1.4（=2·1/2+2/5=1.4 と一致）。E(Z²)=0.1+4·0.2+9·0.3=0.1+0.8+2.7=3.6。V=3.6−1.96=1.64=41/25。一致する。