この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

確率・統計の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学確率・統計

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} sin x 0 (0 \leq x \leq π) (otherwise)$
で与えられている。 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。

この問題で使うもの

連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（58 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$V (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ を使う。 $E [X]$ は密度関数の対称性からすぐわかる。

ヒント 2

$E [X^{2}] = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x^{2} sin x d x$ は部分積分を 2 回行って計算する。

ヒント 3

$\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x = π^{2} + 2 \int_{0}^{π} x cos x d x$ であり、 $\int_{0}^{π} x cos x d x = - 2$ である。

答えと解説

答えを見る

\frac{π ^{2} - 8}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

（ $\int_{0}^{π} \frac{1}{2} sin x d x = \frac{1}{2} [- cos x]_{0}^{π} = 1$ なので確かに確率密度関数である。）

期待値. 部分積分により
$\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + [sin x]_{0}^{π} = π .$
よって $E [X] = \frac{1}{2} \cdot π = \frac{π}{2}$ 。（ $f$ が $x = \frac{π}{2}$ に関して対称であることからもわかる。）

2 次の積率. 部分積分を 2 回行うと
$\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x = [- x^{2} cos x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} x cos x d x = π^{2} + 2 ([x sin x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin x d x) = π^{2} + 2 (0 - 2) = π^{2} - 4.$
よって $E [X^{2}] = \frac{π ^{2} - 4}{2}$ 。

分散.
$V (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2} = \frac{π ^{2} - 4}{2} - \frac{π ^{2}}{4} = \frac{2 π ^{2} - 8 - π ^{2}}{4} = \frac{π ^{2} - 8}{4} .$

別解

対称性より $E [X] = π /2$ 。 $E [X^{2}] = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x^{2} sin x d x$ 。部分積分で $\int x^{2} sin x d x = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x$ なので、 $[\cdot]_{0}^{π} = (π^{2} - 2) - (2) = π^{2} - 4$ 。よって $E [X^{2}] = \frac{π ^{2} - 4}{2}$ 。 $V (X) = \frac{π ^{2} - 4}{2} - \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π ^{2}}{4} - 2$ 。検算: 約 $2.467 - 2 = 0.467 > 0$ で、 $[0, π]$ 上の分布の分散として妥当（一様分布なら $π^{2} /12 \approx 0.82$ より小さい）。

確率・統計の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題