確率・統計の問題

手順 1：周辺分布と期待値を求める。

$$P(X=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2},P(Y=1)=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}$$

$X,Y$ は $0$ か $1$ の値しかとらないので、
$$E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=\frac{1}{2},E(Y)=\frac{2}{5}$$
である。

手順 2：分散を求める。

$X^2=X$, $Y^2=Y$ なので $E(X^2)=\frac{1}{2}$, $E(Y^2)=\frac{2}{5}$ である。よって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$
$$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=\frac{2}{5}-\frac{4}{25}=\frac{6}{25}$$

手順 3：共分散を求める。

$XY$ は $X=1$ かつ $Y=1$ のときだけ $1$、それ以外は $0$ なので
$$E(XY)=1\cdot P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
よって
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{3}{10}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{3}{10}-\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$$

手順 4：$V(aX+bY)$ の公式を使う。

$X,Y$ は独立とは限らないので、共分散の項を含む公式
$$V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$$
を使う。$a=2,b=-1$ として
$$V(2X-Y)=4\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{6}{25}+2\cdot 2\cdot (-1)\cdot \frac{1}{10}=1+\frac{6}{25}-\frac{2}{5}=\frac{25+6-10}{25}=\frac{21}{25}$$

確認： $2X-Y$ の分布を直接求めると、とる値は $0,-1,2,1$ で、それぞれの確率は $\frac{2}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{5},\frac{3}{10}$ である。よって
$$E(2X-Y)=-\frac{1}{10}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$$
$$E((2X-Y{)}^2)=\frac{1}{10}+\frac{4}{5}+\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$$
となり、分散は $\frac{6}{5}-\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$ で一致する。

答え：$V(2X-Y)=\frac{21}{25}$

周辺分布: P(X=1)=1/5+3/10=1/2、P(Y=1)=1/10+3/10=2/5。
E[X]=1/2、E[Y]=2/5、E[XY]=P(X=1,Y=1)=3/10。
Cov(X,Y)=3/10−(1/2)(2/5)=3/10−1/5=1/10。
V(X)=(1/2)(1/2)=1/4、V(Y)=(2/5)(3/5)=6/25。
V(2X−Y)=4V(X)+V(Y)−4Cov(X,Y)=1+6/25−4/10=1+6/25−2/5=(25+6−10)/25=21/25。
検算: Z=2X−Y の値は (0,0)→0 (確率2/5)、(0,1)→−1 (1/10)、(1,0)→2 (1/5)、(1,1)→1 (3/10)。E[Z]=−1/10+2/5+3/10=3/5。E[Z²]=1/10+4/5+3/10=6/5。V=6/5−9/25=30/25−9/25=21/25。一致。