積率母関数

積率母関数 $M (t) = E (e^{tX})$ を求め、微分して期待値・分散を計算できる

前提

幾何分布・ポアソン分布（大学数学確率・統計）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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説明

確率変数 $X$ に対して、 $t$ の関数 $M (t) = E (e^{tX})$ を積率母関数といいます。これを一度求めておくと、 $t$ について微分して $t = 0$ を代入するだけで、 $E (X)$ 、 $E (X^{2})$ 、さらに高次の $E (X^{k})$ が得られます。期待値や分散を求める級数や広義積分が面倒な場合（ $x^{2}$ が掛かった積分や、 $k^{2}$ が掛かった級数など）に特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$e^{tX}$ をテイラー展開すると $e^{tX} = 1 + tX + \frac{t ^{2} X ^{2}}{2 !} + \frac{t ^{3} X ^{3}}{3 !} + \dots$ です。両辺の期待値をとって項ごとに $E$ を分けると、 $M (t) = 1 + E (X) t + \frac{E ( X ^{2} )}{2 !} t^{2} + \frac{E ( X ^{3} )}{3 !} t^{3} + \dots$ となります。つまり $M (t)$ は、 $t^{k}$ の係数に $E (X^{k}) / k!$ （ $k$ 次の積率、つまりモーメント）を並べたべき級数です。テイラー展開の係数は $M^{(k)} (0) / k!$ でしたから、係数を比べて $M^{(k)} (0) = E (X^{k})$ が得られます。 $M (t)$ が積率を「生み出す」のでこの名前があります。

別の見方もできます。期待値は和や積分なので、 $t$ での微分を中に入れると $M^{'} (t) = E (X e^{tX})$ 、 $M^{''} (t) = E (X^{2} e^{tX})$ となり、 $t = 0$ では $e^{0} = 1$ なので $M^{'} (0) = E (X)$ 、 $M^{''} (0) = E (X^{2})$ です。ただし、これらの操作（項ごとに期待値をとる・微分を中に入れる）が正しいのは、 $0$ を含むある開区間 $- h < t < h$ （ $h > 0$ ）のすべての $t$ で $M (t)$ が有限の値をとるときです。この条件のもとで操作が許されることは証明されているので、ここでは事実として使います。

分散は $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ なので、 $V (X) = M^{''} (0) - {M^{'} (0)}^{2}$ と計算できます。なお、 $M (0) = E (1) = 1$ は必ず成り立つので、求めた $M (t)$ が正しいかの確認に使えます。

手順

定義に従って $M (t) = E (e^{tX})$ を計算する。離散型なら $M (t) = \sum_{k} e^{t k} P (X = k)$ 、連続型なら $M (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} f (x) d x$ とする。
級数や広義積分が収束する $t$ の範囲を書き添える。その範囲が $t = 0$ を含む開区間であることを確かめ、 $M (0) = 1$ になることで検算する。
$M (t)$ を $t$ で微分して $M^{'} (t)$ と $M^{''} (t)$ を求める（合成関数の微分・商の微分を使う）。
$t = 0$ を代入して $E (X) = M^{'} (0)$ 、 $E (X^{2}) = M^{''} (0)$ を得る。
分散を $V (X) = M^{''} (0) - {M^{'} (0)}^{2}$ で計算する。

例題

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f (x) = 3 e^{- 3 x} (x \geq 0)$ 、 $f (x) = 0 (x < 0)$ で与えられている。 $X$ の積率母関数 $M (t)$ を求め、それを用いて分散 $V (X)$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】定義より $M (t) = \int_{0}^{\infty} e^{t x} \cdot 3 e^{- 3 x} d x = 3 \int_{0}^{\infty} e^{- (3 - t) x} d x$ となる。
【手順2】 $t < 3$ のとき $3 - t > 0$ なので、 $3 R \to \infty lim [- \frac{e ^{- (3 - t) x}}{3 - t}]_{0}^{R} = \frac{3}{3 - t}$ と収束する。 $t \geq 3$ のときは被積分関数が $0$ に近づかず（ $t = 3$ では定数 $3$ 、 $t > 3$ では増加し続け）、積分は発散する。よって $M (t) = \frac{3}{3 - t} (t < 3)$ であり、定義域は $t = 0$ を含む開区間 $t < 3$ である。検算すると $M (0) = 1$ で正しい。
【手順3】 $M (t) = 3 (3 - t)^{- 1}$ を合成関数の微分で微分すると、 $M^{'} (t) = 3 (3 - t)^{- 2}$ 、 $M^{''} (t) = 6 (3 - t)^{- 3}$ となる。
【手順4】 $t = 0$ を代入すると、 $E (X) = M^{'} (0) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ 、 $E (X^{2}) = M^{''} (0) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ である。
【手順5】 $V (X) = \frac{2}{9} - (\frac{1}{3})^{2} = \frac{2}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$ 。
したがって $M (t) = \frac{3}{3 - t} (t < 3)$ 、 $V (X) = \frac{1}{9}$ である。

答え: $\frac{1}{9}$

よくある誤り

$M^{''} (0)$ をそのまま分散としてしまう誤り。 $M^{''} (0)$ は $E (X^{2})$ である。正しくは $V (X) = M^{''} (0) - {M^{'} (0)}^{2}$ で、上の例なら $\frac{2}{9}$ ではなく $\frac{2}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$ となる。
$t$ の範囲を書かずに $M (t) = \frac{λ}{λ - t}$ とだけ書いてしまう誤り。指数分布（ $f (x) = λ e^{- λ x}$ , $x \geq 0$ ）では $t \geq λ$ で積分が発散する。正しくは $M (t) = \frac{λ}{λ - t} (t < λ)$ と範囲を添える。
微分した後に $t = 1$ を代入してしまう誤り。積率は $t = 0$ での微分係数で、 $E (X) = M^{'} (0)$ である（ $M (1) = E (e^{X})$ は積率ではない）。
合成関数の微分で内側の微分を落とす誤り。ポアソン分布（ $P (X = k) = e^{- λ} λ^{k} / k!$ ）では $M (t) = e^{λ (e^{t} - 1)}$ だが、 $M^{'} (t) = e^{λ (e^{t} - 1)}$ とするのは誤り。正しくは $M^{'} (t) = λ e^{t} e^{λ (e^{t} - 1)}$ で、 $M^{'} (0) = λ$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

特性関数（大学数学確率・統計）
独立な確率変数の和の分布（大学数学確率・統計）
中心極限定理の使い方（大学数学確率・統計）