確率解析の問題

方針：幾何ブラウン運動の確率微分方程式を伊藤の公式で解き、解を $W_T$ の指数関数として表してから期待値を計算する。

1. 方程式を解く。 $X_t>0$ として $Y_t=\log X_t$ とおく。$f(x)=\log x$ について $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ である。また $d{X}_t=2X_{t}dt+X_{t}d{W}_t$ より $(d{X}_t{)}^2=X_t^{2}dt$ である。伊藤の公式から
$$d{Y}_t=\frac{1}{X_t}d{X}_t-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{X_t^2}(d{X}_t{)}^2=(2dt+d{W}_t)-\frac{1}{2}dt=\frac{3}{2}dt+d{W}_t.$$
$Y_0=\log 1=0$ なので $Y_t=\frac{3}{2}t+W_t$ となり、
$$X_t=\exp \left(\frac{3}{2}t+W_t\right)$$
を得る（逆にこれが方程式を満たすことも伊藤の公式で確かめられる）。

2. 期待値を求める。 $W_T\sim N(0,T)$ であり、正規分布の積率母関数から $E[e^{a{W}_T}]=e^{a^{2}T/2}$ である。よって
$$E[X_T]=e^{\frac{3}{2}T}E[e^{W_T}]=e^{\frac{3}{2}T}{e}^{\frac{1}{2}T}=e^{2T}.$$

3. 2 乗の期待値を求める。 $X_T^2=\exp (3T+2W_T)$ なので
$$E[X_T^2]=e^{3T}E[e^{2W_T}]=e^{3T}{e}^{2T}=e^{5T}.$$

4. 分散を求める。
$$V(X_T)=E[X_T^2]-\{E[X_T]{\}}^2=e^{5T}-e^{4T}.$$
$T=\log 2$ を代入すると $e^{5T}=2^5=32$, $e^{4T}=2^4=16$ だから
$$V(X_T)=32-16=16.$$

幾何ブラウン運動 $d{X}_t=\mu X_{t}dt+\sigma X_{t}d{W}_t$ で $\mu =2,\sigma =1$ の場合である。伊藤の公式より $d\log X_t=(\mu -{\sigma }^2/2)dt+\sigma d{W}_t$ なので、$X_t=\exp \left((2-\frac{1}{2})t+W_t\right)=\exp (\frac{3}{2}t+W_t)$ となる。

$E[X_t]=e^{2t}$ である。$E[X_t^2]=\exp (3t)E[e^{2W_t}]=\exp (3t+2t)=e^{5t}$ となる。別の方法として $d(X^2)=2XdX+d⟨X⟩=(4+1)X^{2}dt+2X^{2}dW$ より $E[X^2]=e^{5t}$ とも確かめられる。

よって $V(X_t)=e^{5t}-e^{4t}$ である。$T=\log 2$ を代入すると $e^{5T}=2^5=32$、$e^{4T}=2^4=16$ なので、$V(X_T)=32-16=16$ となる。