確率微分方程式（幾何ブラウン運動・OU 過程）

幾何ブラウン運動・オルンシュタイン・ウーレンベック過程の確率微分方程式を解き、解の期待値・分散を求められる

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

確率微分方程式（SDE） $d X_{t} = a (t, X_{t}) d t + b (t, X_{t}) d B_{t}$ のうち、係数が $X_{t}$ について 1 次式になっている代表的な 2 つを、具体的な式で解けるようになります。1 つは幾何ブラウン運動 $d X_{t} = μ X_{t} d t + σ X_{t} d B_{t}$ です。株価のように「変化の大きさが現在の値に比例する」量のモデルに使います。もう 1 つはオルンシュタイン・ウーレンベック（OU）過程 $d X_{t} = θ (m - X_{t}) d t + σ d B_{t}$ （ $θ > 0$ ）です。金利や速度のように「平均 $m$ へ引き戻されながら揺れる」量のモデルに使います。解を $B_{t}$ や伊藤積分で書き表せれば、期待値と分散が計算できます。

なぜそうしてよいのか

以下、初期値 $X_{0} = x_{0}$ は定数、 $σ > 0$ とします。どちらの SDE も係数が線形（リプシッツ）なので、解はただ 1 つに決まります。したがって、何らかの方法で解の候補を見つけ、それが式を満たすと確かめれば十分です。

【幾何ブラウン運動】常微分方程式 $x^{'} = μx$ の解は $x_{0} e^{μ t}$ です。そこで $X_{t} = f (t, B_{t})$ 、 $f (t, x) = x_{0} exp (a t + σ x)$ という形を予想し、定数 $a$ を後で決めます。 $f_{t} = a f$ 、 $f_{x} = σ f$ 、 $f_{xx} = σ^{2} f$ なので、伊藤の公式から $d X_{t} = (a + \frac{1}{2} σ^{2}) X_{t} d t + σ X_{t} d B_{t}$ となります。これが $μ X_{t} d t + σ X_{t} d B_{t}$ に一致するには $a = μ - \frac{1}{2} σ^{2}$ が必要です。つまり伊藤の補正項 $\frac{1}{2} f_{xx}$ の分だけ、指数の $t$ の係数が $σ^{2} /2$ 小さくなります。期待値には $B_{t} \sim N (0, t)$ の積率母関数 $E [e^{c B_{t}}] = e^{c^{2} t /2}$ を使います。

【OU 過程】 $d t$ の部分は 1 階線形微分方程式 $x^{'} + θ x = θ m$ と同じ形なので、積分因子 $e^{θ t}$ を掛けます。伊藤の公式は、 $B_{t}$ の代わりに伊藤過程 $d X_{t} = α d t + β d B_{t}$ に対しても、 $(d X_{t})^{2} = β^{2} d t$ （規則 $d t \cdot d t = d t \cdot d B_{t} = 0$ 、 $d B_{t} \cdot d B_{t} = d t$ ）とすれば同じ形で成り立ちます。 $f (t, x) = e^{θ t} x$ では $f_{xx} = 0$ なので補正項は出ず、 $d (e^{θ t} X_{t}) = θ e^{θ t} X_{t} d t + e^{θ t} d X_{t} = θ m e^{θ t} d t + σ e^{θ t} d B_{t}$ となります。右辺は $X_{t}$ を含まないので、そのまま積分できます。期待値・分散の計算では、確定関数の伊藤積分が平均 $0$ であることと、伊藤の等長性 $E [(\int_{0}^{t} h (s) d B_{s})^{2}] = \int_{0}^{t} h (s)^{2} d s$ を使います。

手順

型を見分け、パラメータを読み取る。 $d X_{t} = μ X_{t} d t + σ X_{t} d B_{t}$ なら幾何ブラウン運動、 $d X_{t} = θ (m - X_{t}) d t + σ d B_{t}$ （ $θ > 0$ ）なら OU 過程。 $- θ X_{t} d t$ だけの場合は $m = 0$ とみる
幾何ブラウン運動の場合は、解 $X_{t} = x_{0} exp ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) t + σ B_{t})$ を書く（伊藤の公式で確かめられる）
OU 過程の場合は、積分因子 $e^{θ t}$ を掛けて $d (e^{θ t} X_{t}) = θ m e^{θ t} d t + σ e^{θ t} d B_{t}$ とし、 $0$ から $t$ まで積分して $X_{t} = m + (x_{0} - m) e^{- θ t} + σ \int_{0}^{t} e^{- θ (t - s)} d B_{s}$ を得る
期待値を求める。OU では伊藤積分の期待値が $0$ なので $E [X_{t}] = m + (x_{0} - m) e^{- θ t}$ 。幾何ブラウン運動では $E [e^{σ B_{t}}] = e^{σ^{2} t /2}$ より $E [X_{t}] = x_{0} e^{μ t}$
分散を求める。OU では伊藤の等長性により $Var (X_{t}) = σ^{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 θ (t - s)} d s = \frac{σ ^{2}}{2 θ} (1 - e^{- 2 θ t})$ 。幾何ブラウン運動では $E [X_{t}^{2}] = x_{0}^{2} e^{(2 μ + σ^{2}) t}$ より $Var (X_{t}) = x_{0}^{2} e^{2 μ t} (e^{σ^{2} t} - 1)$

例題

$B_{t}$ を標準ブラウン運動とする。確率微分方程式 $d X_{t} = - 2 X_{t} d t + 3 d B_{t}$ 、 $X_{0} = 5$ の解 $X_{t}$ について、 $Var (X_{1})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：ドリフトが $- 2 X_{t}$ 、拡散係数が定数 $3$ なので、OU 過程で $θ = 2$ 、 $m = 0$ 、 $σ = 3$ 、 $x_{0} = 5$ です。

手順 3：積分因子 $e^{2 t}$ を掛けます。 $f (t, x) = e^{2 t} x$ は $f_{xx} = 0$ なので補正項は出ず、 $d (e^{2 t} X_{t}) = 2 e^{2 t} X_{t} d t + e^{2 t} d X_{t} = 3 e^{2 t} d B_{t}$ となります。 $0$ から $t$ まで積分すると $e^{2 t} X_{t} = 5 + 3 \int_{0}^{t} e^{2 s} d B_{s}$ なので、 $X_{t} = 5 e^{- 2 t} + 3 \int_{0}^{t} e^{- 2 (t - s)} d B_{s}$ です。

手順 4：伊藤積分の期待値は $0$ なので、 $E [X_{1}] = 5 e^{- 2}$ です。

手順 5： $Var (X_{1})$ は伊藤積分の項の 2 乗の期待値に等しく、伊藤の等長性から $Var (X_{1}) = 9 \int_{0}^{1} e^{- 4 (1 - s)} d s = 9 \cdot \frac{1 - e ^{- 4}}{4} = \frac{9}{4} (1 - e^{- 4})$ となります（公式 $\frac{σ ^{2}}{2 θ} (1 - e^{- 2 θ t})$ に $σ = 3, θ = 2, t = 1$ を代入した値と一致します）。

答え: $\frac{9}{4} (1 - e^{- 4})$

よくある誤り

幾何ブラウン運動の解を、常微分方程式からの類推で $X_{t} = x_{0} e^{μ t + σ B_{t}}$ としてしまう誤り。伊藤の公式で微分するとドリフトが $(μ + \frac{1}{2} σ^{2}) X_{t}$ になり、元の式を満たしません。正しくは $X_{t} = x_{0} exp ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) t + σ B_{t})$ です。
幾何ブラウン運動の期待値を、指数の中の $B_{t}$ を平均 $0$ で置き換えて $E [X_{t}] = x_{0} e^{(μ - σ^{2} /2) t}$ としてしまう誤り。 $E [e^{σ B_{t}}] \neq = e^{E [σ B_{t}]} = 1$ です。正しくは $E [e^{σ B_{t}}] = e^{σ^{2} t /2}$ なので、 $E [X_{t}] = x_{0} e^{μ t}$ です。
OU 過程の分散で、伊藤の等長性の被積分関数を 2 乗し忘れて $σ^{2} \int_{0}^{t} e^{- θ (t - s)} d s = \frac{σ ^{2}}{θ} (1 - e^{- θ t})$ としてしまう誤り。正しくは $σ^{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 θ (t - s)} d s = \frac{σ ^{2}}{2 θ} (1 - e^{- 2 θ t})$ です。
OU 過程の分散を、ブラウン運動と同じように $σ^{2} t$ としてしまう誤り。平均への引き戻しがあるので分散は増え続けず、正しくは $\frac{σ ^{2}}{2 θ} (1 - e^{- 2 θ t})$ です。 $t \to \infty$ で $\frac{σ ^{2}}{2 θ}$ に収束します。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブラウン運動の二次汎関数の期待値（カメロン・マルティンの公式）（大学院数学確率解析）
ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）