中心極限定理（特性関数による）

特性関数の展開を使って中心極限定理を導き、標準化した和の分布の極限を求められる

前提

特性関数の性質と反転公式（大学院数学確率論）
中心極限定理の使い方（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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中心極限定理の使い方（大学数学確率・統計）

説明

独立同分布の確率変数の和 $S_{n}$ を標準化すると、もとの分布が何であっても、その分布は標準正規分布 $N (0, 1)$ に近づきます。これが中心極限定理です。この技能では、特性関数を $t = 0$ の近くで 2 次まで展開し、 $n$ 乗の極限を計算してこの定理を導きます。具体的な分布について、標準化した和やスケールした和の特性関数の極限、つまり極限分布を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

$Y_{1}, Y_{2}, \dots$ を独立同分布とし、 $E [Y_{1}] = 0$ 、 $E [Y_{1}^{2}] = 1$ とします。 $Z_{n} = \frac{Y _{1} + \dots + Y _{n}}{n}$ とおくと、独立性から期待値は積に分かれます。よって $Y_{1}$ の特性関数を $φ (s) = E [e^{i s Y_{1}}]$ として $E [e^{i t Z_{n}}] = \prod_{k = 1}^{n} E [e^{i (t / n) Y_{k}}] = φ (t / n)^{n}$ です。前提の技能（特性関数の各点収束から分布収束が言えること）により、示すべきことは $φ (t / n)^{n} \to e^{- t^{2} /2}$ （ $N (0, 1)$ の特性関数）だけです。

鍵になるのは展開 $φ (s) = 1 - \frac{s ^{2}}{2} + o (s^{2}) (s \to 0)$ です。3 次以上の積率がなくても、この展開は成り立ちます。実数 $x$ に対しては、テイラーの定理の剰余項の評価から $e^{i x} - 1 - i x + \frac{x ^{2}}{2} \leq min (\frac{∣ x ∣ ^{3}}{6}, x^{2})$ が成り立ちます。 $x = s Y_{1}$ を代入して期待値をとると、 $E [Y_{1}] = 0, E [Y_{1}^{2}] = 1$ から次の評価が得られます。
$φ (s) - 1 + \frac{s ^{2}}{2} \leq s^{2} E [min (\frac{∣ s ∣∣ Y _{1} ∣ ^{3}}{6}, Y_{1}^{2})] .$
右辺の期待値の中身は可積分な $Y_{1}^{2}$ で抑えられ、 $s \to 0$ のとき各点で $0$ に収束します。したがって優収束定理により期待値は $0$ に収束し、右辺は $o (s^{2})$ になります。

最後に $n$ 乗の極限を求めます。 $∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 1$ ならば $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{n - 1 - k}$ より $∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq n ∣ a - b ∣$ です。 $a = φ (t / n)$ 、 $b = 1 - \frac{t ^{2}}{2 n}$ とおきます。 $∣ a ∣ \leq 1$ は常に成り立ち、 $n \geq t^{2} /2$ なら $0 \leq b \leq 1$ です。このとき $n ∣ a - b ∣ = n \cdot o (1/ n) \to 0$ であり、 $b^{n} \to e^{- t^{2} /2}$ ですから $φ (t / n)^{n} \to e^{- t^{2} /2}$ が得られます。複素数の対数を使わずに済むのがこの方法の利点です。

手順

平均 $μ$ と分散 $σ^{2}$ を確認する。 $X_{k}$ が独立同分布で $0 < σ^{2} < \infty$ であることを確かめ、 $μ = E [X_{1}]$ 、 $σ^{2} = V (X_{1})$ を求める。
中心化してスケールする。 $Y_{k} = X_{k} - μ$ とおき、考える量を $\frac{Y _{1} + \dots + Y _{n}}{n}$ （標準化するなら $\frac{S _{n} - n μ}{σ n}$ ）の形に書く。
独立性を使って特性関数を $n$ 乗に分解する。 $E [e^{i t \sum Y_{k} / n}] = φ_{Y} (t / n)^{n}$ となる。
$0$ の近くで 2 次まで展開する。 $φ_{Y} (s) = 1 - \frac{σ ^{2} s ^{2}}{2} + o (s^{2})$ に $s = t / n$ を代入すると $1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2 n} + o (1/ n)$ になる。
$n$ 乗の極限をとる。 $(1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2 n} + o (1/ n))^{n} \to e^{- σ^{2} t^{2} /2}$ である（ $∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq n ∣ a - b ∣$ で誤差を処理する）。
極限分布を読み取る。極限は $N (0, σ^{2})$ の特性関数で、 $t = 0$ で連続なので、分布は $N (0, σ^{2})$ に収束する。 $σ$ でも割った標準化なら極限は $N (0, 1)$ 。

例題

$X_{1}, X_{2}, \dots$ は独立で、いずれも区間 $[- 1, 1]$ 上の一様分布に従うとする。 $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ とおく。実数 $t$ を固定したとき、 $n \to \infty lim E [e^{i t S_{n} / n}]$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】密度は $[- 1, 1]$ 上で $\frac{1}{2}$ なので、 $μ = \int_{- 1}^{1} \frac{x}{2} d x = 0$ 、 $σ^{2} = \int_{- 1}^{1} \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{1}{3}$ です。
【手順2】 $μ = 0$ なので中心化は不要で、 $Y_{k} = X_{k}$ のまま $\frac{S _{n}}{n}$ を考えます。今回は $σ$ では割っていません。
【手順3】 $s \neq = 0$ のとき $φ (s) = \int_{- 1}^{1} \frac{e ^{i s x}}{2} d x = \frac{s i n s}{s}$ で、 $φ (0) = 1$ です。独立性から $E [e^{i t S_{n} / n}] = φ (t / n)^{n}$ となります。
【手順4】 $\frac{s i n s}{s} = 1 - \frac{s ^{2}}{6} + \frac{s ^{4}}{120} - \dots$ なので、 $φ (t / n) = 1 - \frac{t ^{2}}{6 n} + O (n^{- 2})$ です。これは一般形 $1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2 n}$ で $σ^{2} = \frac{1}{3}$ とした式と一致します。
【手順5】 $b = 1 - \frac{t ^{2}}{6 n}$ とおくと、 $n \geq t^{2} /6$ なら $0 \leq b \leq 1$ です。 $∣ φ ∣ \leq 1$ と $∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq n ∣ a - b ∣$ から $∣ φ (t / n)^{n} - b^{n} ∣ \leq n \cdot O (n^{- 2}) \to 0$ となります。さらに $b^{n} \to e^{- t^{2} /6}$ です（ $t = 0$ のときも値は $1 = e^{0}$ で成り立ちます）。
【手順6】極限 $e^{- t^{2} /6}$ は $N (0, \frac{1}{3})$ の特性関数です。よって $S_{n} / n$ の分布は $N (0, \frac{1}{3})$ に収束します。
答え: $e^{- t^{2} /6}$

答え: $e^{- t^{2} /6}$

よくある誤り

$σ$ で割っていないのに極限を $e^{- t^{2} /2}$ としてしまう誤り。正しくは、 $S_{n} / n$ （平均 $0$ ）の特性関数の極限は $e^{- σ^{2} t^{2} /2}$ で、上の例では $e^{- t^{2} /6}$ になる。
平均 $μ \neq = 0$ のまま $φ_{X} (t / n)^{n}$ の極限をとろうとする誤り。 $φ_{X} (s) = 1 + i μ s + O (s^{2})$ なので、 $n$ 乗すると偏角が $μ t n$ 程度ずれ続け、収束しない。正しくは先に $Y_{k} = X_{k} - μ$ と中心化し、 $\frac{S _{n} - n μ}{n}$ を考える。
スケールを $n$ ではなく $n$ にしてしまう誤り。平均 $0$ なら $φ (t / n)^{n} = (1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2 n ^{2}} + o (n^{- 2}))^{n} \to 1$ となり、極限は $0$ に集中した分布になる（大数の法則）。正規分布が現れるのは $n$ で割ったときである。
展開の誤差項を $O (1/ n)$ の精度でしか評価せずに $n$ 乗の極限をとってしまう誤り。 $(1 - \frac{c}{n} + \frac{d}{n})^{n} \to e^{- c + d}$ のように、 $1/ n$ のオーダーの誤差は極限を変える。正しくは $φ (s) = 1 - \frac{σ ^{2} s ^{2}}{2} + o (s^{2})$ まで正確に展開し、誤差を $o (1/ n)$ にしてから $∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq n ∣ a - b ∣$ で処理する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$X_{1}, X_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるもの（公正なさいころの出る目）とする。正の整数 $m$ に対して $S_{m} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{m}$ とおく。極限
$n \to \infty lim P (S_{n} > \frac{7 n}{2} かつ S_{4 n} > 14 n)$
を求めよ。

この技能の次に学べること

ブラウン運動（大学院数学確率論）