確率論の問題

方針: 和の特性関数を 1 個の特性関数の $n$ 乗に直し、特性関数を 2 次まで展開して極限をとる。

1. $X_1$ の特性関数. オイラーの公式 $e^{is}+e^{-is}=2\cos s$ を使うと
$$\phi (s)=E[e^{is{X}_1}]=\frac{1}{3}\left(e^{-is}+1+e^{is}\right)=\frac{1+2\cos s}{3}.$$
なお $E[X_1]=0$, $V(X_1)=E[X_1^2]=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ である。

2. 和の特性関数. $X_1,\dots ,X_n$ は独立なので、$e^{it{X}_k/\sqrt{n}}$ $(k=1,\dots ,n)$ も独立である。したがって積の期待値は期待値の積になり、
$$E\left[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right]=\prod _{k=1}^{n}E\left[e^{it{X}_k/\sqrt{n}}\right]=\phi {\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)}^n.$$

3. 特性関数の展開. $\cos s=1-\frac{s^2}{2}+O(s^4)$ $(s\to 0)$ より
$$\phi (s)=\frac{1+2-s^2+O(s^4)}{3}=1-\frac{s^2}{3}+O(s^4).$$
これは一般論の $\phi (s)=1+isE[X_1]-\frac{s^2}{2}E[X_1^2]+o(s^2)=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{s}^2+o(s^2)$ と一致する。$s=t/\sqrt{n}$ を代入すると
$$\phi \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)=1-\frac{t^2}{3n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

4. 極限. $n$ が十分大きければ右辺は正なので、$\log$ をとって $\log (1+x)=x+O(x^2)$ を使うと
$$n\log \phi \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)=n\left(-\frac{t^2}{3n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=-\frac{t^2}{3}+O\left(\frac{1}{n}\right)\to -\frac{t^2}{3}.$$
よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right]=e^{-\frac{t^2}{3}}.$$

これは $N\left(0,\frac{2}{3}\right)$ の特性関数 $e^{-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$（${\sigma }^2=\frac{2}{3}$）である。レヴィの連続性定理により、$S_n/\sqrt{n}$ は $N\left(0,\frac{2}{3}\right)$ に分布収束する。これが中心極限定理の内容と一致している。

$X_k$ の特性関数は $\phi (t)=E[e^{it{X}_k}]=\frac{1+2\cos t}{3}$ である。平均は 0、分散は ${\sigma }^2=E[X_k^2]=\frac{2}{3}$ である。
独立性より $E[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}]=\phi (t/\sqrt{n}{)}^n$ となる。
$\phi (s)=1-\frac{s^2}{3}+O(s^4)$ なので、$\phi (t/\sqrt{n}{)}^n={\left(1-\frac{t^2}{3n}+O(n^{-2})\right)}^n\to e^{-t^2/3}$ である。
これは中心極限定理による $N(0,2/3)$ の特性関数 $e^{-{\sigma }^2{t}^2/2}=e^{-t^2/3}$ と一致する。
検算: $\cos s=1-s^2/2+\dots$ より $(1+2\cos s)/3=1-s^2/3+\dots$ で、上の計算と整合する。