特性関数の性質と反転公式

特性関数から分布が決まること（一意性・反転公式）を使い、分布の収束を特性関数の収束で調べられる

前提

測度論的な期待値と収束定理（大学院数学確率論）
特性関数（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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特性関数（大学数学確率・統計）

説明

特性関数 $φ_{X} (t) = E (e^{i tX})$ が分布をただ一つに決めること（一意性）と、 $φ_{X}$ から分布を具体的に取り出す式（反転公式）を学びます。さらに、特性関数が各点で収束し、その極限がある分布の特性関数ならば、もとの確率変数はその分布に法則収束する、というレヴィの連続性定理を使います。二項分布からポアソン分布への近似や中心極限定理のような「分布の極限」を求める問題で、確率そのものを追わずに特性関数の極限計算だけで結論を出せるのが利点です。

なぜそうしてよいのか

まず用語を定めます。確率変数 $X_{n}$ の分布関数を $F_{n} (x) = P (X_{n} \leq x)$ 、 $X$ の分布関数を $F$ とします。 $F$ が連続である各点 $x$ で $F_{n} (x) \to F (x)$ となるとき、 $X_{n}$ は $X$ に法則収束する（ $X_{n} \Rightarrow X$ ）といいます。逆向きの易しい事実として、 $X_{n} \Rightarrow X$ ならば、 $e^{i t x}$ が有界連続関数であることから $φ_{X_{n}} (t) \to φ_{X} (t)$ が成り立ちます。この技能の中心は、その逆向きです。

一意性の根拠は反転公式です。 $a < b$ に対し $\frac{e ^{- i t a} - e ^{- i t b}}{i t}$ は $\int_{a}^{b} e^{- i t x} d x$ に等しく、 $∣ \cdot ∣ \leq b - a$ で有界です。そこで $\frac{1}{2 π} \int_{- T}^{T} \frac{e ^{- i t a} - e ^{- i t b}}{i t} φ_{X} (t) d t$ を考え、 $φ_{X} (t) = E (e^{i tX})$ を代入して積分と期待値の順序を交換します（被積分関数が有界で $t$ の範囲が有限なので許されます）。実部だけが残り、内側は $\frac{1}{π} \int_{0}^{T} (\frac{sin t ( X - a )}{t} - \frac{sin t ( X - b )}{t}) d t$ になります。 $\int_{0}^{\infty} \frac{s i n u}{u} d u = \frac{π}{2}$ より、 $T \to \infty$ でこれは $a < X < b$ のとき $1$ 、 $X = a$ または $X = b$ のとき $\frac{1}{2}$ 、それ以外で $0$ に近づき、しかも $T$ によらず有界です。優収束定理で極限と期待値を交換すると
$T \to \infty lim \frac{1}{2 π} \int_{- T}^{T} \frac{e ^{- i t a} - e ^{- i t b}}{i t} φ_{X} (t) d t = P (a < X < b) + \frac{P ( X = a ) + P ( X = b )}{2}$
を得ます。 $P (X = a) > 0$ となる $a$ は高々可算個しかないので、そうでない $a, b$ をとれば右辺は $P (a < X \leq b)$ です。こうして区間の確率がすべて $φ_{X}$ から決まるので、特性関数が等しい 2 つの分布は一致します。特に $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ φ_{X} (t) ∣ d t < \infty$ なら、 $X$ は連続な密度 $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i t x} φ_{X} (t) d t$ をもちます。

レヴィの連続性定理は「各 $t$ で $φ_{X_{n}} (t) \to φ (t)$ であり、 $φ$ が $t = 0$ で連続（たとえば $φ$ がある確率変数 $X$ の特性関数）ならば、 $φ$ はある $X$ の特性関数で $X_{n} \Rightarrow X$ 」という主張です。直観的な仕組みはこうです。 $t = 0$ での連続性は、確率の質量が無限遠へ逃げないことを保証します。すると $X_{n}$ の分布の列から法則収束する部分列が取り出せ、その極限の特性関数は必ず $φ$ になります。一意性によって、どの部分列の極限も同じ分布に決まってしまうので、列全体がその分布に収束します。

手順

$X_{n}$ の特性関数 $φ_{X_{n}} (t)$ を求める。変換には $φ_{a X + b} (t) = e^{i t b} φ_{X} (a t)$ を、独立な和には $φ_{X + Y} = φ_{X} φ_{Y}$ を使う。
$t$ を固定して $lim_{n \to \infty} φ_{X_{n}} (t) = φ (t)$ を計算する。 $e^{i u} = 1 + i u + o (u)$ や $(1 + \frac{c}{n} + o (\frac{1}{n}))^{n} \to e^{c}$ がよく使える。
極限 $φ$ が既知の分布の特性関数であることを確かめる（少なくとも $t = 0$ で連続であることを確認する）。一意性により、極限の分布はその分布にただ一つに決まる。
レヴィの連続性定理から $X_{n} \Rightarrow X$ と結論し、極限分布の分布関数 $F$ が連続な点 $x$ で $P (X_{n} \leq x) \to F (x)$ として確率の極限を求める。
（分布そのものを取り出したいとき）反転公式を使う。 $\int ∣ φ ∣ < \infty$ なら密度は $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i t x} φ (t) d t$ で求まる。

例題

$n \geq 2$ とし、 $X_{n}$ を $P (X_{n} = k) = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n})^{k - 1}$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）に従う確率変数とする。特性関数を用いて $n \to \infty lim P (X_{n} > 2 n)$ を求めよ。

例題の解答

$Y_{n} = X_{n} / n$ とおき、 $p = \frac{1}{n}$ と書く。

手順 1（特性関数を求める）： $∣ (1 - p) e^{i s} ∣ < 1$ なので等比級数の和から
$φ_{X_{n}} (s) = k = 1 \sum \infty p (1 - p)^{k - 1} e^{i s k} = \frac{p e ^{i s}}{1 - ( 1 - p ) e ^{i s}}$
となる。 $φ_{Y_{n}} (t) = φ_{X_{n}} (t / n)$ であり、分子と分母に $n$ を掛けると
$φ_{Y_{n}} (t) = \frac{e ^{i t / n}}{n ( 1 - e ^{i t / n} ) + e ^{i t / n}}$
である。

手順 2（各点での極限）： $t = 0$ のときは値が常に $1$ である。 $t \neq = 0$ のときは $u = t / n \to 0$ とおくと $n (1 - e^{i t / n}) = - t \cdot \frac{e ^{i u} - 1}{u} \to - t \cdot i = - i t$ となり、 $e^{i t / n} \to 1$ でもある。よってすべての $t$ で $φ_{Y_{n}} (t) \to \frac{1}{1 - i t}$ が成り立つ。

手順 3（極限の特定）： $X$ がパラメータ $1$ の指数分布に従うとき、 $φ_{X} (t) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} e^{i t x} d x = [\frac{e ^{(i t - 1) x}}{i t - 1}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{1 - i t}$ である（ $∣ e^{(i t - 1) x} ∣ = e^{- x} \to 0$ より）。したがって極限 $\frac{1}{1 - i t}$ は指数分布 $Exp (1)$ の特性関数であり、一意性により極限の分布はこれに決まる。

手順 4（結論）：レヴィの連続性定理より $Y_{n} \Rightarrow X$ である。 $X$ の分布関数 $F (x) = 1 - e^{- x}$ （ $x \geq 0$ ）、 $F (x) = 0$ （ $x < 0$ ）はすべての点で連続なので、 $x = 2$ でも使える。よって
$P (X_{n} > 2 n) = P (Y_{n} > 2) = 1 - P (Y_{n} \leq 2) \to 1 - F (2) = e^{- 2}$
となる。（直接計算すると $P (X_{n} > 2 n) = (1 - \frac{1}{n})^{2 n} \to e^{- 2}$ となり、結果は一致する。）

答え: $e^{- 2}$

よくある誤り

各点極限が存在するだけで法則収束すると結論してしまう誤り。たとえば $X_{n} \sim N (0, n)$ では $φ_{X_{n}} (t) = e^{- n t^{2} /2}$ が、 $t = 0$ のとき $1$ 、 $t \neq = 0$ のとき $0$ に収束する。この極限は $t = 0$ で連続でないので特性関数ではなく、質量が無限遠へ逃げて $X_{n}$ はどの分布にも法則収束しない。正しくは、極限が $t = 0$ で連続であること（あるいは既知の特性関数であること）を必ず確認する。
極限分布の分布関数が不連続な点でも $P (X_{n} \leq x) \to F (x)$ としてしまう誤り。たとえば $X_{n} = \frac{1}{n}$ （定数）では $φ_{X_{n}} (t) = e^{i t / n} \to 1$ なので $X_{n} \Rightarrow 0$ だが、 $P (X_{n} \leq 0) = 0$ であり $F (0) = 1$ には収束しない。正しくは、 $F$ が連続な点でだけ極限をとる。
特性関数が可積分でないのに密度の反転式 $f (x) = \frac{1}{2 π} \int e^{- i t x} φ (t) d t$ を使ってしまう誤り。たとえばベルヌーイ分布では $φ (t) = 1 - p + p e^{i t}$ で $\int ∣ φ ∣ d t = \infty$ となり、そもそも密度をもたない。正しくは区間版の反転公式を使う。その右辺は $P (a < X < b) + \frac{P ( X = a ) + P ( X = b )}{2}$ で、端点の原子には $\frac{1}{2}$ が付くことにも注意する。
反転公式の符号や係数を取り違える誤り。 $φ (t) = \int e^{i t x} f (x) d x$ に対して正しくは $f (x) = \frac{1}{2 π} \int e^{- i t x} φ (t) d t$ である。 $e^{+ i t x}$ を使うと $f (- x)$ が得られてしまい、 $\frac{1}{2 π}$ を落とすと全確率が $2 π$ になってしまう。たとえば $φ (t) = e^{- ∣ t ∣}$ からは $f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}$ が得られる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）