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確率論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学確率論

$X_{1}, X_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるもの（公正なさいころの出る目）とする。正の整数 $m$ に対して $S_{m} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{m}$ とおく。極限
$n \to \infty lim P (S_{n} > \frac{7 n}{2} かつ S_{4 n} > 14 n)$
を求めよ。

この問題で使うもの

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）
中心極限定理の使い方（説明と入口の問題）
中心極限定理（特性関数による）（説明と入口の問題）
特性関数の性質と反転公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（100 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S_{4 n}$ を $S_{n}$ と独立な部分 $S_{4 n} - S_{n}$ に分け、それぞれを中心化・正規化して中心極限定理を使いましょう。

ヒント 2

$A_{n} = \frac{S _{n} - 7 n /2}{σ n}$ , $B_{n} = \frac{S _{4 n} - S _{n} - 21 n /2}{σ 3 n}$ とおくと、事象は $A_{n} > 0$ かつ $A_{n} + 3 B_{n} > 0$ と書けます。 $(A_{n}, B_{n})$ は独立な標準正規分布の組に分布収束します。

ヒント 3

極限は独立な標準正規 $Z_{1}, Z_{2}$ に対する $P (Z_{1} > 0, Z_{1} + 3 Z_{2} > 0)$ です。2 次元標準正規分布の回転対称性を使い、この角領域の角の大きさを求めましょう。

答えと解説

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\frac{1}{3}

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解説を読む

$E [X_{k}] = \frac{7}{2}$ である。また $E [X_{k}^{2}] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ より
$σ^{2} = V (X_{k}) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$
である。 $σ = 35/12 > 0$ とおく。

独立な 2 つの部分に分ける。
$A_{n} = \frac{S _{n} - \frac{7 n}{2}}{σ n}, B_{n} = \frac{( S _{4 n} - S _{n} ) - \frac{21 n}{2}}{σ 3 n}$
とおく。 $A_{n}$ は $X_{1}, \dots, X_{n}$ だけで、 $B_{n}$ は $X_{n + 1}, \dots, X_{4 n}$ だけで決まるので、 $A_{n}$ と $B_{n}$ は独立である。 $S_{4 n} - S_{n}$ は $3 n$ 個の独立同分布な $X_{k}$ の和なので、中心極限定理により $A_{n}$ , $B_{n}$ はそれぞれ標準正規分布 $N (0, 1)$ に分布収束する。独立性から $(A_{n}, B_{n})$ の特性関数は $φ_{A_{n}} (s) φ_{B_{n}} (t) \to e^{- s^{2} /2} e^{- t^{2} /2}$ となるので、レヴィの連続性定理により $(A_{n}, B_{n})$ は独立な標準正規確率変数の組 $(Z_{1}, Z_{2})$ に分布収束する。

事象を書き直す。
$S_{4 n} - 14 n = (S_{n} - \frac{7 n}{2}) + (S_{4 n} - S_{n} - \frac{21 n}{2}) = σ n (A_{n} + 3 B_{n})$
であるから、
$P (S_{n} > \frac{7 n}{2}, S_{4 n} > 14 n) = P ((A_{n}, B_{n}) \in D), D = {(x, y) : x > 0, x + 3 y > 0} .$
$D$ の境界は 2 本の半直線の和で、2 次元正規分布に関して確率 $0$ である。よってポートマントー定理により
$n \to \infty lim P ((A_{n}, B_{n}) \in D) = P ((Z_{1}, Z_{2}) \in D) .$

極限の確率を計算する。 $(Z_{1}, Z_{2})$ の密度 $\frac{1}{2 π} e^{- (x^{2} + y^{2}) /2}$ は回転対称なので、原点を頂点とする角領域の確率は（角の大きさ） $/2 π$ である。偏角 $θ$ で表すと、 $x > 0$ は $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ 、 $x + 3 y > 0$ は法線ベクトル $(1, 3)$ の偏角が $\frac{π}{3}$ なので $- \frac{π}{6} < θ < \frac{5 π}{6}$ である。共通部分は $- \frac{π}{6} < θ < \frac{π}{2}$ で、角の大きさは $\frac{2 π}{3}$ 。したがって
$P ((Z_{1}, Z_{2}) \in D) = \frac{2 π /3}{2 π} = \frac{1}{3} .$

（別解として、 $Z_{1}$ と $W = \frac{Z _{1} + 3 Z _{2}}{2}$ は相関係数 $ρ = \frac{1}{2}$ の標準 2 次元正規分布に従うので、公式 $P (Z_{1} > 0, W > 0) = \frac{1}{4} + \frac{a r c s i n ρ}{2 π} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$ からも得られる。）

よって求める極限は $\frac{1}{3}$ である。

別解

$μ = 7/2$ 、 $σ^{2} = 35/12$ とし、 $T_{m} = S_{m} - μ m$ とおく。求める事象は $T_{n} > 0$ かつ $T_{4 n} > 0$ である。

中心極限定理（多次元版）により、 $(T_{n} / n, T_{4 n} / 4 n)$ は、標準偏差を $σ$ 倍して規格化すると、2次元正規分布 $N (0, Σ)$ に分布収束する。ここで相関係数は
$ρ = \frac{Cov ( T _{n} , T _{4 n} )}{Var T _{n} Var T _{4 n}} = \frac{n σ ^{2}}{n σ ^{2} \cdot 4 n σ ^{2}} = \frac{1}{2}$
である。

境界 ${T_{n} = 0}$ 、 ${T_{4 n} = 0}$ の極限分布の確率は 0 なので、極限の確率は正規分布の確率に等しい。相関 $ρ$ の標準2変量正規分布について、 $P (U > 0, V > 0) = \frac{1}{4} + \frac{a r c s i n ρ}{2 π}$ が成り立つ。 $ρ = 1/2$ なので
$\frac{1}{4} + \frac{π /6}{2 π} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} .$

検算： $W_{1}, W_{2}$ を独立な標準正規とし、 $U = W_{1}$ 、 $V = (W_{1} + 3 W_{2}) /2$ と書く。 $U > 0$ かつ $V > 0$ の領域は、法線のなす角が $6 0^{\circ}$ の2つの半平面の共通部分で、頂角は $12 0^{\circ}$ である。確率は $120/360 = 1/3$ となり、上の結果と一致する。

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