確率論の問題

$E[X_i]=1$, $V(X_i)=1$ である。

2 次元の中心極限定理. $$A_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}},B_n=\frac{S_{4n}-S_n-3n}{\sqrt{3n}}$$ とおくと、$A_n$ と $B_n$ は異なる $X_i$ の和から作られるので独立であり、中心極限定理によりそれぞれ標準正規分布 $N(0,1)$ に分布収束する。独立なので特性関数は積になり、$(A_n,B_n)$ は独立な標準正規変数の組 $(Z,W)$ に分布収束する。

求める確率の事象は $$S_n>n⟺A_n>0,S_{4n}<4n⟺\sqrt{n}{A}_n+\sqrt{3n}{B}_n<0⟺A_n+\sqrt{3}{B}_n<0$$ なので、$$P(S_n>n,S_{4n}<4n)=P\left((A_n,B_n)\in D\right),D=\{(a,b):a>0,a+\sqrt{3}b<0\}.$$ $D$ の境界は $2$ 本の半直線からなり、$(Z,W)$ の分布では確率 $0$ なので、ポートマントー定理により $$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left((A_n,B_n)\in D\right)=P\left((Z,W)\in D\right).$$

正規分布での確率. $(Z,W)$ の分布は回転対称なので、極座標 $(Z,W)=(R\cos \theta ,R\sin \theta )$ で $\theta$ は $[0,2\pi )$ 上の一様分布に従う。$D$ の条件は
- $a>0$: $\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
- $a+\sqrt{3}b<0$: $\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =2\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)<0$、すなわち $\theta \in (\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6})$（$2\pi$ を法として $(-\frac{7\pi }{6},-\frac{\pi }{6})$）

であり、共通部分は $\theta \in (-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6})$、長さ $\frac{\pi }{3}$ の角度範囲である。よって $$P\left((Z,W)\in D\right)=\frac{\pi /3}{2\pi }=\frac{1}{6}.$$

（別解: $(S_n-n)/\sqrt{n}$ と $(S_{4n}-4n)/\sqrt{4n}$ の極限は相関係数 $\rho =\sqrt{n/4n}=\frac{1}{2}$ の 2 次元標準正規分布で、$P(Z_1>0,Z_2<0)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }\arcsin \rho =\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$。）

答えは $\frac{1}{6}$ である。

$X_k$ の平均は $1$、分散は $1$。中心極限定理（2 次元版）により、
$$\left(\frac{S_n-n}{\sqrt{n}},\frac{S_{4n}-4n}{\sqrt{n}}\right)\stackrel{d}{\to }(U,V)$$
で、$(U,V)$ は平均 $0$ の 2 次元正規分布。実際 $A_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\to U\sim N(0,1)$ と、独立な増分 $\frac{S_{4n}-S_n-3n}{\sqrt{n}}\to W\sim N(0,3)$ を用いて $\frac{S_{4n}-4n}{\sqrt{n}}=A_n+(\text{増分})\to V=U+W$ と書ける（$U,W$ は独立）。

求める事象は $\{S_n>n\}\cap \{S_{4n}<4n\}=\{A_n>0\}\cap \{\frac{S_{4n}-4n}{\sqrt{n}}<0\}$ で、極限分布は連続で境界 $\{U=0\},\{V=0\}$ の確率が $0$ なので、極限は $P(U>0,V<0)$ に収束する。

$\mathrm{Var}U=1$、$\mathrm{Var}V=1+3=4$、$\mathrm{Cov}(U,V)=1$。相関係数は $\rho =\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}$。

標準 2 次元正規で相関 $\rho$ のとき $P(U>0,V>0)=\frac{1}{4}+\frac{\arcsin \rho }{2\pi }$。ゆえに
$$P(U>0,V<0)=P(U>0)-P(U>0,V>0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{\arcsin (1/2)}{2\pi }=\frac{1}{4}-\frac{\pi /6}{2\pi }=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}.$$

検算: $P(U>0,V<0)+P(U>0,V>0)=\frac{1}{2}$ で、$P(U>0,V>0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$、$P(U>0,V<0)=\frac{1}{6}$、合計 $\frac{1}{2}$。$\rho =0$ なら $\frac{1}{4}$、$\rho \to 1$ なら $0$ で、$\rho =\frac{1}{2}$ の値 $\frac{1}{6}$ はその間にあり妥当。