確率論の問題

期待値は確率測度 $P$ による積分なので、確率変数の列 $Y_n=n\sin \frac{X^2}{n}$ に優収束定理を使って、極限と期待値を交換します。

手順1：各点収束を確かめる。 $\omega \in \Omega$ を固定します。
- $X(\omega )=0$ のときは、すべての $n$ で $Y_n(\omega )=0=X(\omega {)}^2$ です。
- $X(\omega )\ne 0$ のときは、$t_n=\frac{X(\omega {)}^2}{n}$ とおくと $t_n\to 0$ なので、${\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ より
$$Y_n(\omega )=X(\omega {)}^2\cdot \frac{\sin t_n}{t_n}⟶X(\omega {)}^2(n\to \infty )$$
となります。

したがって、すべての $\omega$ で $Y_n(\omega )\to X(\omega {)}^2$ です。

手順2：可積分な優関数をとる。 すべての実数 $t$ で $|\sin t|\le |t|$ が成り立つので、
$$|Y_n|=n\left|\sin \frac{X^2}{n}\right|\le n\cdot \frac{X^2}{n}=X^2$$
がすべての $n$ で成り立ちます。この $X^2$ が可積分であることを確かめます。$E[X^2]$ は密度を使った広義積分で計算でき、部分積分を 2 回行うと
$$E[X^2]={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=[-x^2{e}^{-x}{]}_0^{\infty }+2{\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx$$
$$=0+2\left([-x{e}^{-x}{]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx\right)=2\cdot 1=2<\infty$$
となります（${\lim }_{x\to \infty }{x}^2{e}^{-x}={\lim }_{x\to \infty }x{e}^{-x}=0$ を使いました）。

手順3：優収束定理を適用する。 各 $Y_n$ は $X$ の連続関数なので可測です。手順1から $Y_n\to X^2$（各点収束）であり、手順2から $|Y_n|\le X^2$、$E[X^2]<\infty$ です。よって優収束定理の仮定がすべて満たされ、
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }E[Y_n]=E\left[\underset{n\to \infty }{\lim }{Y}_n\right]=E[X^2]=2$$
が得られます。

答えは $2$ です。

$|n\sin (x^2/n)|\le x^2$ であり、$E[X^2]={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=2<\infty$ なので、$x^2{e}^{-x}$ が可積分な優関数になる。
各 $x$ について $n\sin (x^2/n)\to x^2$ $(n\to \infty )$ である。
優収束定理より、$\lim a_n=E[X^2]={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=\Gamma (3)=2$。
検算：$\sin t=t-t^3/6+\cdots$ より $a_n=E[X^2]-E[X^6]/(6n^2)+\cdots$ で、$E[X^2]=2$ に収束する。