確率論の問題

期待値は確率測度 $P$ による積分 $a_n={\int }_{\Omega }{\left(1+\frac{X(\omega )}{n}\right)}^{n}dP(\omega )$ です。被積分関数の列 $Y_n={\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n$ に優収束定理を使い、極限と期待値を交換します。

手順 1（各点収束） 各 $\omega$ について $x=X(\omega )\in [0,1]$ を固定します。$x=0$ なら $Y_n=1=e^0$ です。$x>0$ なら $h=\frac{x}{n}$ とおくと、$n\to \infty$ のとき $h\to 0$ で
$${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n={\left\{(1+h{)}^{1/h}\right\}}^x\to e^x$$
となります。よって $Y_n\to e^X$（各点）です。

手順 2（可積分な優関数） すべての実数 $t$ で $1+t\le e^t$ が成り立ちます。$t=\frac{X}{n}\ge 0$ とすると $1+\frac{X}{n}>0$ なので、両辺を $n$ 乗して
$$0\le Y_n={\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n\le e^X\le e$$
となります。定数 $e$ は確率空間上で可積分です（$E[e]=e<\infty$）。

手順 3（優収束定理） 手順 1, 2 より優収束定理の仮定が満たされるので、極限と期待値を交換できます。
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=E\left[e^X\right]={\int }_0^1{e}^x\cdot 1dx=[e^x{]}_0^1=e-1$$
（$X$ の確率密度関数は $[0,1]$ 上で $1$ です。）

（確認）直接計算しても $a_n={\int }_0^1{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx=\frac{n}{n+1}\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}-1\right\}\to e-1$ となり、一致します。

答え: $e-1$

$a_n={\int }_0^1(1+x/n{)}^{n}dx=\frac{n}{n+1}{\left[(1+x/n{)}^{n+1}\right]}_0^1=\frac{n}{n+1}\left[(1+1/n{)}^{n+1}-1\right]$。
$n\to \infty$ のとき $(1+1/n{)}^{n+1}=(1+1/n{)}^n(1+1/n)\to e$、$\frac{n}{n+1}\to 1$ なので、極限は $e-1$。

別の方法による検算: $0\le x\le 1$ で $(1+x/n{)}^n$ は $e^x$ に各点収束し、$e$ で一様に抑えられる。そのため優収束定理より ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$。両者は一致する。

数値確認: $n=1$ のとき $a_1={\int }_0^1(1+x)dx=1.5$。公式は $\frac{1}{2}(4-1)=1.5$ で一致する。