確率論の問題

方針 積の $n$ 乗根は、対数をとると標本平均になる。そこで大数の強法則（独立同分布で可積分な確率変数の標本平均は、確率 $1$ で期待値に収束する）を使う。

手順 1：対数をとって標本平均の形にする。 $1+X_k\ge 1>0$ なので対数がとれて
$$\log G_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log (1+X_k).$$
$Y_k=\log (1+X_k)$ とおく。$X_1,X_2,\dots$ は独立同分布なので、それぞれを同じ連続関数 $x\mapsto \log (1+x)$ で変換した $Y_1,Y_2,\dots$ も独立同分布である。

手順 2：大数の強法則の仮定を確かめる。 $0\le X_k\le 1$ より $0\le Y_k\le \log 2$ である。よって $E|Y_1|\le \log 2<\infty$ となり、$Y_1$ は可積分である。したがって大数の強法則が使えて、確率 $1$ で
$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{Y}_k\to E(Y_1)(n\to \infty ).$$
（大数の強法則の証明では、ずれの大きい事象の確率の和が有限であることを示し、ボレル・カンテリの補題を使って「ずれが大きい事象は有限回しか起こらない」ことを導いている。）

手順 3：期待値を計算する。 $X_1$ の確率密度関数は $[0,1]$ 上で $1$ なので、部分積分により
$$E(Y_1)={\int }_0^1\log (1+x)dx=[(1+x)\log (1+x)-(1+x){]}_0^1=(2\log 2-2)-(0-1)=2\log 2-1.$$

手順 4：指数関数に戻す。 $\exp$ は連続なので、確率 $1$ で
$$G_n=\exp (\log G_n)\to e^{2\log 2-1}=\frac{4}{e}.$$

よって $L=\frac{4}{e}$ である。

大数の法則より、$\log G_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\log (1+X_i)$ は確率1で $E[\log (1+X_1)]$ に収束する（$\log (1+X_1)$ は有界なので期待値は有限）。

$E[\log (1+X_1)]={\int }_0^1\log (1+x)dx$。部分積分で ${\int }_0^1\log (1+x)dx=[(1+x)\log (1+x)-(1+x){]}_0^1=(2\log 2-2)-(0-1)=2\log 2-1$。

よって $L=\exp (2\log 2-1)=4/e$。

検算：$4/e\approx 1.4715$。$1+X$ の値は 1 から 2 の間で、その幾何平均は算術平均 1.5 より小さいので、$1.4715<1.5$ で矛盾しない。また $\log L\approx 0.3863$ で、${\int }_0^1\log (1+x)dx\approx 0.386$ と一致する。