マルコフの不等式・チェビシェフの不等式

マルコフの不等式・チェビシェフの不等式で、確率の上限を見積もれる

前提

一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）

説明

マルコフの不等式とチェビシェフの不等式を使うと、確率分布の形がわからなくても、期待値や分散だけから「大きな値をとる確率」「平均から大きく外れる確率」の上限を見積もれます。分布が複雑で確率を正確に計算できないときや、どんな分布でも成り立つ安全側の評価がほしいときに使います。大数の法則など、確率論の多くの議論の出発点にもなる不等式です。

なぜそうしてよいのか

マルコフの不等式: $X$ が $0$ 以上の値だけをとる確率変数で、期待値 $E [X]$ が存在するとき、任意の $a > 0$ に対して $P (X \geq a) \leq \frac{E [ X ]}{a}$ が成り立ちます。連続型で確率密度関数を $f (x)$ とすると、 $x \geq 0$ で $x f (x) \geq 0$ なので、積分範囲を $[a, \infty)$ に狭めると値は小さくなるか等しく、さらにその範囲では $x \geq a$ です。よって $E [X] = \int_{0}^{\infty} x f (x) d x \geq \int_{a}^{\infty} x f (x) d x \geq a \int_{a}^{\infty} f (x) d x = a P (X \geq a)$ となり、両辺を $a > 0$ で割れば得られます（離散型でも積分を和に置き換えて同じです）。直観的には「平均が小さいのに大きな値をとる確率が高いと、平均が押し上げられて矛盾する」ということです。

チェビシェフの不等式: $X$ の期待値を $μ$ 、分散を $σ^{2} = E [(X - μ)^{2}]$ とすると、任意の $k > 0$ に対して $P (∣ X - μ ∣ \geq k) \leq \frac{σ ^{2}}{k ^{2}}$ が成り立ちます。理由は、 $Y = (X - μ)^{2}$ が $0$ 以上の確率変数で $E [Y] = σ^{2}$ であること、そして $∣ X - μ ∣ \geq k$ と $(X - μ)^{2} \geq k^{2}$ が同じ事象であることです。 $Y$ にマルコフの不等式を $a = k^{2}$ で使うと $P (∣ X - μ ∣ \geq k) = P (Y \geq k^{2}) \leq σ^{2} / k^{2}$ となります。

どちらも「どんな分布でも成り立つ」代わりに、評価はかなり粗く、実際の確率よりずっと大きい上限になることが多いです。また右辺が $1$ 以上になるときは、確率が $1$ 以下という当たり前のこと以上の情報はありません。

手順

求めたい確率が「 $X \geq a$ の確率」か「平均からのずれ $∣ X - μ ∣ \geq k$ の確率」かを見分ける。
マルコフを使うときは $X \geq 0$ であることと $a > 0$ を確認し、 $E [X]$ を求める。
チェビシェフを使うときは期待値 $μ$ と分散 $σ^{2}$ を求め（標準偏差が与えられたら 2 乗する）、求めたい事象を $∣ X - μ ∣ \geq k$ （ $k > 0$ ）の形に書き直す。
不等式に代入する： $P (X \geq a) \leq \frac{E [ X ]}{a}$ または $P (∣ X - μ ∣ \geq k) \leq \frac{σ ^{2}}{k ^{2}}$ 。
得られた値が上限であって確率そのものではないこと、 $1$ 以上なら意味のない評価であることを確認する。

例題

確率変数 $X$ が、確率密度関数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{- x /2} (x \geq 0)$ 、 $f (x) = 0 (x < 0)$ の指数分布に従うとする。チェビシェフの不等式を用いて得られる $P (∣ X - 2∣ \geq 6)$ の上限の値を求めよ。

例題の解答

手順1: 求めたいのは平均からのずれの確率なので、チェビシェフの不等式を使う。

手順3: パラメータ $λ = \frac{1}{2}$ の指数分布なので、期待値は $μ = \frac{1}{λ} = 2$ 、分散は $σ^{2} = \frac{1}{λ ^{2}} = 4$ 。事象はすでに $∣ X - μ ∣ \geq k$ の形で、 $μ = 2$ 、 $k = 6 > 0$ である。

手順4: $P (∣ X - 2∣ \geq 6) \leq \frac{σ ^{2}}{k ^{2}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} .$

手順5: $\frac{1}{9} < 1$ なので意味のある評価である。なお、 $X \geq 0$ より $∣ X - 2∣ \geq 6$ は $X \geq 8$ と同じで、実際の確率は $P (X \geq 8) = e^{- 4} \approx 0.018$ となり、上限 $\frac{1}{9} \approx 0.111$ より確かに小さい（チェビシェフの評価は粗いことがわかる）。

よって求める上限は $\frac{1}{9}$ 。

答え: $\frac{1}{9}$

よくある誤り

負の値もとる確率変数にマルコフの不等式を使ってしまう誤り。例えば $E [X] = 0$ の $X$ に使うと $P (X \geq 1) \leq 0$ となりおかしい。正しくはマルコフの不等式は $X \geq 0$ のときだけ使え、ずれを見たいなら $(X - μ)^{2}$ に使う（チェビシェフ）。
標準偏差をそのまま分子に入れたり、 $k$ を 2 乗し忘れたりして $P (∣ X - μ ∣ \geq k) \leq \frac{σ}{k}$ や $\frac{σ ^{2}}{k}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{σ ^{2}}{k ^{2}}$ で、例えば $σ = 2, k = 6$ なら $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ 。
不等式の右辺を確率そのものだと思ってしまう誤り。例題では上限は $\frac{1}{9}$ だが実際の確率は $e^{- 4} \approx 0.018$ 。正しくは右辺はあくまで上限であり、等号が成り立つとは限らない。
片側の事象では上限が半分になると考えて $P (X - μ \geq k) \leq \frac{σ ^{2}}{2 k ^{2}}$ としてしまう誤り。分布が左右対称とは限らないので一般には成り立たない。正しくは $P (X - μ \geq k) \leq P (∣ X - μ ∣ \geq k) \leq \frac{σ ^{2}}{k ^{2}}$ までしか言えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

大数の弱法則（大学数学確率・統計）