この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

1 個のさいころを $n$ 回投げ、 $i$ 回目に出た目を $X_{i}$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ とする。 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の目が同様に確からしく出るものとする。
$Y_{n} = \frac{X _{1}^{2} + X _{2}^{2} + \dots + X _{n}^{2}}{n}$
とおく。このとき、任意の正の実数 $ε$ に対して
$n \to \infty lim P (∣ Y_{n} - c ∣ ≧ ε) = 0$
が成り立つような定数 $c$ がただ 1 つ存在する。 $c$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

大数の弱法則（説明と入口の問題）
マルコフの不等式・チェビシェフの不等式（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）
標本平均の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

大数の弱法則を使います。 $Z_{i} = X_{i}^{2}$ とおくと、 $Y_{n}$ は $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ の標本平均になっています。

ヒント 2

標本平均 $Y_{n}$ について $E (Y_{n}) = E (Z_{1})$ , $V (Y_{n}) = \frac{V ( Z _{1} )}{n}$ であり、チェビシェフの不等式 $P (∣ Y_{n} - E (Y_{n}) ∣ ≧ ε) ≦ \frac{V ( Y _{n} )}{ε ^{2}}$ が使えます。

ヒント 3

$E (X_{i}^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6}$ を計算し、 $V (X_{i}^{2}) = E (X_{i}^{4}) - {E (X_{i}^{2})}^{2}$ が有限であることを確かめると、チェビシェフの不等式の右辺は $\frac{( 定数 )}{n ε ^{2}}$ の形になります。

答えと解説

答えを見る

\frac{91}{6}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針 $Z_{i} = X_{i}^{2}$ とおくと、 $Y_{n} = \frac{Z _{1} + \dots + Z _{n}}{n}$ は独立で同じ分布に従う確率変数 $Z_{i}$ の標本平均である。大数の弱法則（チェビシェフの不等式による証明）により、 $Y_{n}$ は $Z_{i}$ の期待値に確率収束する。

手順 1：期待値と分散を求める。
$E (Z_{i}) = E (X_{i}^{2}) = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} + 6 ^{2}}{6} = \frac{91}{6} .$
$E (Z_{i}^{2}) = E (X_{i}^{4}) = \frac{1 + 16 + 81 + 256 + 625 + 1296}{6} = \frac{2275}{6} .$
よって
$V (Z_{i}) = \frac{2275}{6} - (\frac{91}{6})^{2} = \frac{13650 - 8281}{36} = \frac{5369}{36}$
で、分散は有限である。

手順 2：標本平均の期待値と分散。
$Z_{1}, \dots, Z_{n}$ は独立なので
$E (Y_{n}) = \frac{91}{6}, V (Y_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n \cdot \frac{5369}{36} = \frac{5369}{36 n} .$

手順 3：チェビシェフの不等式を使う。
任意の $ε > 0$ に対して
$P (Y_{n} - \frac{91}{6} ≧ ε) ≦ \frac{V ( Y _{n} )}{ε ^{2}} = \frac{5369}{36 n ε ^{2}} .$
右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づき、左辺は $0$ 以上なので、はさみうちの原理により
$n \to \infty lim P (Y_{n} - \frac{91}{6} ≧ ε) = 0.$
したがって $c = \frac{91}{6}$ は条件を満たす。

（ただ 1 つであること： $c \neq = \frac{91}{6}$ なら $ε = \frac{1}{2} c - \frac{91}{6}$ とすると、 $Y_{n} - \frac{91}{6} < ε$ のとき $∣ Y_{n} - c ∣ > ε$ となるので $P (∣ Y_{n} - c ∣ ≧ ε) ≧ P (Y_{n} - \frac{91}{6} < ε) \to 1$ となり、条件を満たさない。）

以上より $c = \frac{91}{6}$ 。

別解

大数の法則（弱法則）より、 $Y_{n}$ は $E [X_{1}^{2}]$ に確率収束する。したがって $c = E [X_{1}^{2}]$ である。

$E [X_{1}^{2}] = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} + 6 ^{2}}{6} = \frac{91}{6}$ 。

一意性： $c$ と $c^{'}$ がともに条件を満たすとする。 $ε = ∣ c - c^{'} ∣/2 > 0$ ととると、 $∣ Y_{n} - c ∣ < ε$ と $∣ Y_{n} - c^{'} ∣ < ε$ は同時には成り立たない。よって確率の和が 1 以上になり、両方が 0 に収束することと矛盾する。ゆえに $c = c^{'}$ 。

検算： $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$ なので、 $91/6 \approx 15.17$ となる。これは $X^{2}$ の取りうる値 1〜36 の範囲内にあり、妥当である。

確率・統計の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題