確率・統計の問題

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布（確率密度関数 $f(x)=1$ $(0\le x\le 1)$、それ以外で $f(x)=0$）に従うとする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。チェビシェフの不等式を ${\bar{X}}_n$ に用いて得られる評価
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{10}\right)\le (\text{上界})$$
の右辺の上界が $\frac{1}{20}$ 以下になるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$k$ 回目に出た目を $X_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とする。$n$ は正の整数であり、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の各値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるものとする。標本平均を
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

チェビシェフの不等式
$$P\left(\left|\bar{X}-E(\bar{X})\right|\ge \epsilon \right)\le \frac{V(\bar{X})}{{\epsilon }^2}(\epsilon >0)$$
を $\epsilon =\frac{1}{2}$ として用いると、$P\left(\left|\bar{X}-\frac{7}{2}\right|\ge \frac{1}{2}\right)$ の上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が得られ、これは $n\to \infty$ で $0$ に近づく（大数の弱法則）。この上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が $0.01$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ は互いに独立で、どれも次の確率分布にしたがうとする。
$$P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2},P(X_k=2)=\frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
正の整数 $n$ に対して
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。ある定数 $c$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\ge \epsilon \right)=0$$
が成り立つ。この定数 $c$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ連続型確率変数とする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

どんな正の実数 $\epsilon$ に対しても
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|{\bar{X}}_n-a\right|<\epsilon \right)=1$$
が成り立つような実数の定数 $a$ はただ 1 つ存在する。この $a$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。