確率・統計の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも同じ確率分布に従う確率変数であり、$E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする（$\mu$, ${\sigma }^2$ はともに未知の定数で、${\sigma }^2>0$）。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

$n$ だけで決まる定数 $c$ を用いて
$$T=c\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。$\mu$, ${\sigma }^2$ の値によらず $E(T)={\sigma }^2$ が成り立つ（$T$ が ${\sigma }^2$ の不偏推定量となる）ような $c$ を、$n$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布（確率密度関数 $f(x)=1$ $(0\le x\le 1)$、それ以外で $f(x)=0$）に従うとする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。チェビシェフの不等式を ${\bar{X}}_n$ に用いて得られる評価
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{10}\right)\le (\text{上界})$$
の右辺の上界が $\frac{1}{20}$ 以下になるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ は互いに独立で、どれも次の確率分布にしたがうとする。
$$P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2},P(X_k=2)=\frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
正の整数 $n$ に対して
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。ある定数 $c$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\ge \epsilon \right)=0$$
が成り立つ。この定数 $c$ を求めよ。