不偏推定量

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも同じ確率分布に従う確率変数であり、$E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする（$\mu$, ${\sigma }^2$ はともに未知の定数で、${\sigma }^2>0$）。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

$n$ だけで決まる定数 $c$ を用いて
$$T=c\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。$\mu$, ${\sigma }^2$ の値によらず $E(T)={\sigma }^2$ が成り立つ（$T$ が ${\sigma }^2$ の不偏推定量となる）ような $c$ を、$n$ を用いて表せ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、
$$T=\frac{n-1}{S}$$
と定める。1 標本あたりのフィッシャー情報量を $I(\theta )=E_{\theta }\left[{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(X_1;\theta )\right)}^2\right]$ とし、$\theta$ の不偏推定量に対するクラメール・ラオの下限を $\frac{1}{nI(\theta )}$ とする。

このとき、$T$ は $\theta$ の不偏推定量であり、すべての $\theta >0$ に対して $V_{\theta }(T)>\frac{1}{nI(\theta )}$ が成り立つ（すなわち $T$ の分散はクラメール・ラオの下限に達しない）ことを証明せよ。

ただし、互いに独立で、いずれも確率密度関数 $\theta e^{-\theta y}(y>0)$ をもつ $n$ 個の確率変数の和は、確率密度関数 $\frac{{\theta }^n{s}^{n-1}{e}^{-\theta s}}{(n-1)!}(s>0)$ をもつこと（ガンマ分布の再生性）と、正の整数 $k$ に対して ${\int }_0^{\infty }{s}^{k-1}{e}^{-\theta s}ds=\frac{(k-1)!}{{\theta }^k}$ であることは用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$ を $T=c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき $T$ の分散 $V(T)$ を $n,\theta$ を用いて表せ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を $3$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$（$\theta$ によらない）を $c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき分散 $V(c_n\hat{\theta })$ を $n,\theta$ の式で表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。

ある電圧を同じ条件のもとで $n$ 回（$n$ は $2$ 以上の整数）測定し、測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ を得た。測定値は確率変数とみなし、次の性質をもつとする。

• 各測定値の期待値は真の値 $\mu$ に等しい: $E[x_i]=\mu$
• 各測定値の分散は等しい: $V[x_i]={\sigma }^2$（$\sigma >0$）
• 電源のゆっくりしたゆらぎのため、異なる 2 回の測定値の間には相関があり、$i\ne j$ のすべての組で相関係数が等しく $\rho$（$0\le \rho <1$ の定数）である: $\mathrm{Cov}(x_i,x_j)=\rho {\sigma }^2$

平均値 $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ と、不偏分散 $s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$ を用いる。測定値が互いに独立であると誤って仮定すると、平均の標準誤差の 2 乗は $s^2/n$ で見積もられる。

平均値の真の分散 $V[\bar{x}]$ と、この見積もりの期待値 $E\left[s^2/n\right]$ の比
$$R=\frac{V[\bar{x}]}{E\left[s^2/n\right]}$$
を $n$ と $\rho$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数、$\lambda$ を未知の正の定数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従う確率変数とし、$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。

このとき、$\lambda$ の最尤推定量は $\hat{\lambda }=\frac{n}{S}$ であり、さらに $\frac{n-1}{n}\hat{\lambda }=\frac{n-1}{S}$ は $\lambda$ の不偏推定量であることを証明せよ。

ただし、正の整数 $m$ に対して、$\lambda$ をパラメータとする指数分布に従う独立な $m$ 個の確率変数の和は確率密度関数
$$g_m(s)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^m{s}^{m-1}{e}^{-\lambda s}}{(m-1)!}& (s>0)\\ 0& (s\le 0)\end{array}$$
をもつこと（したがって ${\int }_0^{\infty }{g}_m(s)ds=1$ であること）は用いてよい。また、観測値 $x_1,\dots ,x_n$ はすべて正であるとして最尤推定を考えてよい。