測定値の平均と標準偏差

繰り返し測定の平均、標本標準偏差 $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ 、相対標準偏差、平均の標準偏差 $s / n$ を求められる

前提

不偏推定量（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
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置換積分（数学III 積分法）
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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
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同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
共分散と相関係数（数学I データの分析）
確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
不偏推定量（大学数学確率・統計）

説明

同じ試料を何回か測定すると、値は少しずつばらつきます。この技能では、繰り返し測定の値から、代表値としての平均 $x ˉ$ 、1 回 1 回の測定のばらつきを表す標本標準偏差 $s$ 、それを平均で割った相対標準偏差、そして平均そのものがどれくらい確かかを表す平均の標準偏差 $s / n$ を求めます。分析結果を「平均 ± ばらつき」の形で報告したり、測定法の精度を比べたりする場面で使います。

なぜそうしてよいのか

測定値 $x_{1}, \dots, x_{n}$ を、真の値（母平均） $μ$ 、母標準偏差 $σ$ の分布から独立に取り出した値とみなします。 $μ$ の推定には平均 $x ˉ = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ を使います。 $σ^{2}$ を推定するとき、 $μ$ がわからないので代わりに $x ˉ$ からの偏差を使いますが、 $x ˉ$ はデータ自身に最も近くなるように決まった値なので、 $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}$ は $\sum (x_{i} - μ)^{2}$ より小さめになります。前提の技能で見たとおり、期待値は $E [\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ なので、 $n$ ではなく $n - 1$ で割った不偏分散 $s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ を使い、その正の平方根 $s$ を標本標準偏差とします（ $n \geq 2$ のときだけ定義できます）。

値の大きさが違う測定どうしのばらつきを比べるため、 $s$ を平均で割った相対標準偏差 $\frac{s}{x ˉ}$ （百分率なら $\times 100$ %）も使います（ $x ˉ \neq = 0$ のとき）。

一方、平均 $x ˉ$ も確率変数で、独立な $n$ 個の和を $n$ で割ったものなので、その分散は $\frac{n σ ^{2}}{n ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n}$ 、標準偏差は $\frac{σ}{n}$ です。 $σ$ を $s$ で置き換えた $\frac{s}{n}$ が平均の標準偏差で、測定回数を増やすほど平均のばらつきが小さくなることを表します。

手順

測定値の数 $n$ を数え、平均 $x ˉ = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ を求める
各測定値の偏差 $x_{i} - x ˉ$ を求め、その 2 乗の和 $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}$ を計算する
$n - 1$ で割って平方根をとり、標本標準偏差 $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ を求める
必要に応じて、相対標準偏差 $\frac{s}{x ˉ} \times 100$ %、平均の標準偏差 $\frac{s}{n}$ を計算する

例題

ある溶液の濃度を 5 回測定し、 $10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14 (mmol L^{- 1})$ を得た。この測定値の標本標準偏差 $s$ （単位 $mmol L^{- 1}$ ）を、根号を用いた正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1: $n = 5$ 。 $x ˉ = \frac{10.10 + 10.11 + 10.12 + 10.13 + 10.14}{5} = \frac{50.60}{5} = 10.12$ 。

手順 2: 偏差は $- 0.02, - 0.01, 0, 0.01, 0.02$ 。2 乗の和は $(4 + 1 + 0 + 1 + 4) \times 1 0^{- 4} = 1.0 \times 1 0^{- 3}$ 。

手順 3:
$s = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{5 - 1} = 2.5 \times 1 0^{- 4} = \frac{1}{4000} = \frac{1}{20 10} = \frac{10}{200}$
（約 $0.0158$ ）。

手順 4（参考）: 相対標準偏差は $\frac{0.0158}{10.12} \times 100 \approx 0.156$ %、平均の標準偏差は $\frac{s}{5} = \frac{2}{200} \approx 0.00707$ 。

答え: $\frac{10}{200}$

よくある誤り

偏差の 2 乗の和を $n$ で割ってしまう誤り。例題で $\frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{5} = \frac{2}{100} \approx 0.0141$ とするのは誤りで、母平均の代わりに $x ˉ$ を使っているので $n - 1$ で割り、 $s = \frac{10}{200} \approx 0.0158$
平均の標準偏差 $\frac{s}{n}$ と、1 回の測定の標準偏差 $s$ を取り違える誤り。例題で測定値のばらつきを問われているのに $\frac{s}{5} \approx 0.00707$ と答えない。逆に平均の確かさを問われたら $s$ ではなく $\frac{s}{n}$
平方根をとり忘れて分散 $s^{2}$ を標準偏差として答える誤り。例題の $s^{2} = 2.5 \times 1 0^{- 4}$ は分散で、標準偏差は $s = 2.5 \times 1 0^{- 4}$
相対標準偏差を $\frac{x ˉ}{s}$ や $\frac{s}{n x ˉ}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{s}{x ˉ}$ （百分率なら $\times 100$ %）で、例題では約 $0.156$ %

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある試料溶液中の銅の濃度を同じ方法で 5 回測定したところ、次の値（単位は $mg L^{- 1}$ ）が得られた。
$10.2, 10.4, 10.1, 10.5, 10.3$
この 5 個の測定値の標本標準偏差 $s = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ （ $x ˉ$ は平均、 $n$ は測定回数）を求めよ。単位は $mg L^{- 1}$ とし、根号を含む正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

誤差の伝播（大学化学分析化学）