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誤差の伝播

独立な誤差をもつ量の和・差では絶対誤差の二乗和、積・商では相対誤差の二乗和の平方根として（一般には ）、計算結果の標準偏差（標準不確かさ）や相対標準偏差を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  5. 組合せ （数学A 場合の数と確率）
  6. 確率の定義と和事象・余事象 （数学A 場合の数と確率）
  7. 期待値 （数学A 場合の数と確率）
  8. 確率変数と確率分布 （数学B 統計的な推測）
  9. 平均と合計 （算数 いろいろな文章題）
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  11. 代表値（平均値・中央値・最頻値） （数学I データの分析）
  12. 分散と標準偏差 （数学I データの分析）
  13. 変量の変換と平均・分散 （数学I データの分析）
  14. 確率変数の期待値・分散と （数学B 統計的な推測）
  15. 確率変数の和と積（独立な場合） （数学B 統計的な推測）
  16. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  17. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  18. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  19. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  20. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  21. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  22. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  23. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  24. 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
  25. 因数分解 （中学数学 数と式）
  26. 3 次式までの展開と因数分解 （数学I 数と式）
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  28. 多項式の微分 （数学II 微分法と積分法）
  29. 多項式の不定積分 （数学II 微分法と積分法）
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  31. 等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
  32. 数列の極限 （数学III 極限）
  33. 関数の極限 （数学III 極限）
  34. 積と商の微分 （数学III 微分法）
  35. 合成関数の微分 （数学III 微分法）
  36. 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
  37. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
  38. 弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める （中学数学 平面図形）
  39. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
  40. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  41. 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
  42. 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
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  44. 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
  45. 弧度法と単位円による三角関数 （数学II 三角関数）
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  47. 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
  48. 三角関数の導関数 （数学III 微分法）
  49. 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
  50. 指数の拡張と指数関数 （数学II 指数関数と対数関数）
  51. 対数の定義と性質 （数学II 指数関数と対数関数）
  52. 自然対数の底 （数学III 極限）
  53. 指数関数・対数関数の導関数 （数学III 微分法）
  54. 基本的な関数の不定積分 （数学III 積分法）
  55. 置換積分 （数学III 積分法）
  56. 部分積分 （数学III 積分法）
  57. 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
  58. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
  59. 重積分と累次積分 （大学数学 微分積分）
  60. 同時分布・周辺分布と独立性 （大学数学 確率・統計）
  61. 共分散と相関係数 （数学I データの分析）
  62. 確率変数の共分散と相関係数 （大学数学 確率・統計）
  63. 連続型確率変数と確率密度関数 （数学B 統計的な推測）
  64. 正規分布と標準化 （数学B 統計的な推測）
  65. 標本平均の分布 （数学B 統計的な推測）
  66. 不偏推定量 （大学数学 確率・統計）
  67. 測定値の平均と標準偏差 （大学化学 分析化学）
  68. 偏微分と全微分 （大学数学 微分積分）

説明

測定値にはばらつき（標準偏差）があり、それらを足したり割ったりして求めた結果にも、そのばらつきが受け継がれます。この技能では、互いに独立な誤差をもつ測定値から計算した量の標準偏差（標準不確かさ）や相対標準偏差を求めます。ひょう量の差から試料の質量を出すとき、質量と体積から濃度を出すとき、滴定値からモル濃度を出すときなど、分析の結果に不確かさを付けるあらゆる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

計算結果を とし、各測定値 が真の値（平均） のまわりで小さくばらつくとします。ばらつきが小さければ、全微分の考え方で を 1 次式で近似できて

となります（偏導関数は での値）。右辺は定数と、独立な確率変数 の 1 次式の和です。 の分散が であることと、独立な確率変数の和の分散がそれぞれの分散の和であることから

が得られます。これが一般の誤差の伝播の式です。和は「異なる測定値 ごと」にとるので、同じ測定値が式の中に何回現れても、その測定値については偏導関数 1 つ分の項しか出てきません。独立でない（共分散がある）場合や、ばらつきが大きくて 1 次の近似が成り立たない場合には、この式はそのままでは使えません。

和・差 では なので となり、差でも絶対誤差の二乗が「足される」ことに注意します。積 では なので で、両辺を で割ると となります。商 （）でも同じ計算で同じ式になります。つまり、足し算・引き算では絶対誤差を、掛け算・割り算では相対誤差を二乗して足し、平方根をとればよいのです。ただしこの導き方では と が別々の独立な測定値であることを使っているので、 や のように同じ測定値が 2 回以上現れる式には使えません（その場合は一般の式に戻ります）。

和・差と積・商が混ざった式でも、部分式どうしが共通の測定値を含まないなら、和・差の部分を先にまとめてから積・商の規則に入れられます。たとえば （ひょう量の差を体積で割る）で、、、、、 なら、まず の標準偏差を （相対 ）と求め、次に商の規則で とします。 と は共通の測定値を含まないので、この 2 段階の計算は偏微分の式で一度に計算したものと一致します。

手順

  1. 計算結果を測定値の式 で表し、各測定値の標準偏差 を確認する（測定値どうしの誤差は独立とする）

  2. 和・差だけで、各測定値が 1 回ずつしか現れない式なら、絶対誤差の二乗和をとる：

  3. 積・商だけで、各因子が互いに異なる独立な測定値である（同じ測定値が 2 回以上現れない）式なら、相対誤差の二乗和をとる：。 のように同じ測定値が複数回現れるときは手順 4 の偏微分の式を使う

  4. それ以外の式は偏導関数を求めて を使う。和・差と積・商が混ざった式は、部分式どうしが共通の測定値を含まないとき（例：）に限り、和・差の部分を先に計算してから積・商の規則に入れてよい。 のように共通の測定値があるときは偏微分の式に戻る

  5. 必要に応じて、標準偏差 と相対標準偏差 （百分率なら ）を互いに換算する

例題

ある試料を はかりとって溶かし、メスフラスコで体積 の溶液とした。質量の相対標準偏差は 、体積の相対標準偏差は であり、2 つの誤差は互いに独立とする。溶液の質量濃度 の相対標準偏差は何 % か。

例題の解答

手順 1： で、、。誤差は独立。

手順 3：商だけの式で、 と は異なる独立な測定値で 1 回ずつしか現れないので、相対誤差の二乗和をとる。

（参考：手順 5 で標準偏差に直すと、 なので 。）

よって相対標準偏差は 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題