確率・統計の問題

最尤推定量. $m={\min }_i{X}_i$, $M={\max }_i{X}_i$ とおく。尤度関数は
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(X_i;\theta )=\{\begin{array}{ll}{\theta }^{-n}& (\theta \le m\text{ かつ }M\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
である。$L(\theta )>0$ となる範囲は $\frac{M}{2}\le \theta \le m$（$M\le 2m$ は確率 1 で成り立つ）であり、そこで ${\theta }^{-n}$ は $\theta$ について単調減少なので、最大を与えるのは左端である。よって
$$\hat{\theta }=\frac{M}{2}.$$

$M$ の分布. $U_i=\frac{X_i-\theta }{\theta }$ とおくと $U_i$ は独立に $[0,1]$ 上の一様分布に従い、$M=\theta (1+W)$, $W={\max }_i{U}_i$ である。$P(W\le w)=w^n$ ($0\le w\le 1$) より $W$ の密度は $n{w}^{n-1}$ で
$$E(W)={\int }_0^{1}n{w}^{n}dw=\frac{n}{n+1},E(W^2)={\int }_0^{1}n{w}^{n+1}dw=\frac{n}{n+2},$$
$$V(W)=\frac{n}{n+2}-\frac{n^2}{(n+1{)}^2}=\frac{n(n+1{)}^2-n^2(n+2)}{(n+1{)}^2(n+2)}=\frac{n}{(n+1{)}^2(n+2)}.$$

不偏化. $E(\hat{\theta })=\frac{\theta }{2}\left(1+\frac{n}{n+1}\right)=\frac{(2n+1)\theta }{2(n+1)}$ なので、$c_n=\frac{2(n+1)}{2n+1}$ とすれば
$$T=c_n\hat{\theta }=\frac{n+1}{2n+1}M$$
は $E(T)=\theta$ を満たす。

分散. $V(M)={\theta }^{2}V(W)$ より
$$V(T)=\frac{(n+1{)}^2}{(2n+1{)}^2}\cdot {\theta }^2\cdot \frac{n}{(n+1{)}^2(n+2)}=\frac{n{\theta }^2}{(n+2)(2n+1{)}^2}.$$

（確認：$n=1$ のとき $T=\frac{2}{3}{X}_1$ で $V(X_1)=\frac{{\theta }^2}{12}$ より $V(T)=\frac{4}{9}\cdot \frac{{\theta }^2}{12}=\frac{{\theta }^2}{27}$。公式でも $\frac{{\theta }^2}{3\cdot 9}=\frac{{\theta }^2}{27}$ で一致する。）

尤度は $L(\theta )={\theta }^{-n}$（すべての $i$ で $\theta \le X_i\le 2\theta$、すなわち $X_{(n)}/2\le \theta \le X_{(1)}$ のとき）で、$\theta$ について単調減少。よって最尤推定量は許される最小値 $\hat{\theta }=X_{(n)}/2$（$X_{(n)}/2\le X_{(1)}$ は常に成り立つ）。$X_i=\theta (1+U_i)$、$U_i\sim U(0,1)$ 独立とし、$M=\max U_i$ とおくと $M$ の密度は $n{m}^{n-1}$、$E[M]=\frac{n}{n+1}$、$E[M^2]=\frac{n}{n+2}$、$V(M)=\frac{n}{n+2}-\frac{n^2}{(n+1{)}^2}=\frac{n}{(n+1{)}^2(n+2)}$。$\hat{\theta }=\theta (1+M)/2$ なので $E[\hat{\theta }]=\frac{\theta }{2}\cdot \frac{2n+1}{n+1}$。不偏にするには $c_n=\frac{2(n+1)}{2n+1}$。$V(T)=c_n^2\cdot \frac{{\theta }^2}{4}V(M)=\frac{4(n+1{)}^2}{(2n+1{)}^2}\cdot \frac{{\theta }^2}{4}\cdot \frac{n}{(n+1{)}^2(n+2)}=\frac{n{\theta }^2}{(2n+1{)}^2(n+2)}$。検算: $n=1$ のとき $T=\frac{4}{3}\cdot \frac{X}{2}\cdot$ ... $c_1=\frac{4}{3}$, $T=\frac{2}{3}X$, $V(T)=\frac{4}{9}\cdot \frac{{\theta }^2}{12}=\frac{{\theta }^2}{27}$、公式は $\frac{{\theta }^2}{9\cdot 3}=\frac{{\theta }^2}{27}$ で一致。