確率・統計の問題

最尤推定量を求める。 $X_{(1)}={\min }_i{X}_i$, $X_{(n)}={\max }_i{X}_i$ とおく。尤度関数は
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(X_i;\theta )=\{\begin{array}{ll}{\theta }^{-n}& (\theta \le X_{(1)}\text{かつ}{X}_{(n)}\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
である。つまり $L(\theta )>0$ となるのは $\frac{X_{(n)}}{2}\le \theta \le X_{(1)}$ のときであり（真の母数がこの範囲に入るので、この範囲は空でない）、この範囲で ${\theta }^{-n}$ は $\theta$ について単調減少である。したがって $L(\theta )$ は左端で最大となり
$$\hat{\theta }=\frac{X_{(n)}}{2}.$$
この尤度は母数によって台が変わるので、微分して $0$ とおく方法は使えず、このように単調性で最大点を求める。

分布の変換。 $U_i=\frac{X_i}{\theta }-1$ とおくと、$U_1,\dots ,U_n$ は互いに独立に区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う。$V={\max }_i{U}_i$ とおくと $X_{(n)}=\theta (1+V)$ であり、
$$\hat{\theta }-\theta =\frac{\theta (1+V)}{2}-\theta =-\frac{\theta (1-V)}{2}.$$
$0\le v\le 1$ で $P(V\le v)=P(U_1\le v)\cdots P(U_n\le v)=v^n$（独立性による）なので、$V$ の確率密度関数は $n{v}^{n-1}(0\le v\le 1)$ である。

平均二乗誤差の計算。
$$E[(1-V{)}^2]={\int }_0^{1}n{v}^{n-1}(1-2v+v^2)dv=1-\frac{2n}{n+1}+\frac{n}{n+2}.$$
通分すると、分子は
$$(n+1)(n+2)-2n(n+2)+n(n+1)=(n^2+3n+2)-(2n^2+4n)+(n^2+n)=2$$
となるので
$$E[(1-V{)}^2]=\frac{2}{(n+1)(n+2)}.$$
よって
$$E\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]=\frac{{\theta }^2}{4}E[(1-V{)}^2]=\frac{{\theta }^2}{4}\cdot \frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{{\theta }^2}{2(n+1)(n+2)}.$$
（確認：$n=1$ のとき $\hat{\theta }=X_1/2$ で、$\frac{{\theta }^2}{4}E[(1-U_1{)}^2]=\frac{{\theta }^2}{12}$ となり、公式の値 $\frac{{\theta }^2}{2\cdot 2\cdot 3}$ と一致する。）

尤度は $L(\theta )={\theta }^{-n}$（すべての $i$ で $\theta \le X_i\le 2\theta$、すなわち $M/2\le \theta \le m$ のとき。ここで $m=\min X_i,M=\max X_i$）であり、それ以外では 0 である。${\theta }^{-n}$ は $\theta$ について単調減少なので、$\theta$ は許される範囲で最小にするのがよい。よって最尤推定量は $\hat{\theta }=M/2$ である（$M\le 2\theta \le 2m$ より $M/2\le m$ なので範囲は空でない）。

$X_i=\theta (1+U_i)$ とおくと、$U_i$ は独立に $[0,1]$ 上の一様分布に従う。$V=\max U_i$ とすると $V$ の密度は $n{v}^{n-1}$ で、$\hat{\theta }=\theta (1+V)/2$ である。したがって $\hat{\theta }-\theta =-\theta (1-V)/2$ となり、
$$E[(\hat{\theta }-\theta {)}^2]=\frac{{\theta }^2}{4}E[(1-V{)}^2].$$

$E[(1-V{)}^2]={\int }_0^1(1-v{)}^{2}n{v}^{n-1}dv=nB(n,3)=n\cdot \frac{(n-1)!2!}{(n+2)!}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}$.

ゆえに $E[(\hat{\theta }-\theta {)}^2]=\frac{{\theta }^2}{2(n+1)(n+2)}$.

検算：$n=1$ のとき $\hat{\theta }=X/2$、$X=\theta (1+U)$ なので $\hat{\theta }-\theta =\theta (U-1)/2$ となり、$E[(U-1{)}^2]=1/3$ から MSE は ${\theta }^2/12$ である。公式は ${\theta }^2/(2\cdot 2\cdot 3)={\theta }^2/12$ で一致する。