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物理実験・誤差論の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理物理実験・誤差論

ある電圧を同じ条件のもとで $n$ 回（ $n$ は $2$ 以上の整数）測定し、測定値 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ を得た。測定値は確率変数とみなし、次の性質をもつとする。

各測定値の期待値は真の値 $μ$ に等しい: $E [x_{i}] = μ$
各測定値の分散は等しい: $V [x_{i}] = σ^{2}$ （ $σ > 0$ ）
電源のゆっくりしたゆらぎのため、異なる 2 回の測定値の間には相関があり、 $i \neq = j$ のすべての組で相関係数が等しく $ρ$ （ $0 \leq ρ < 1$ の定数）である: $Cov (x_{i}, x_{j}) = ρ σ^{2}$

平均値 $x ˉ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ と、不偏分散 $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x ˉ)^{2}$ を用いる。測定値が互いに独立であると誤って仮定すると、平均の標準誤差の 2 乗は $s^{2} / n$ で見積もられる。

平均値の真の分散 $V [x ˉ]$ と、この見積もりの期待値 $E [s^{2} / n]$ の比
$R = \frac{V [ x ˉ ]}{E [ s ^{2} / n ]}$
を $n$ と $ρ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

確率変数の共分散と相関係数（説明と入口の問題）
不偏推定量（説明と入口の問題）
平均値・標準偏差・平均の標準誤差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$V [x ˉ]$ と $E [s^{2}]$ をそれぞれ $σ$ , $ρ$ , $n$ で表し、比をとる方針で考える。

ヒント 2

和の分散は $V [\sum x_{i}] = \sum V [x_{i}] + \sum_{i \neq = j} Cov (x_{i}, x_{j})$ 。また $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = \sum (x_{i} - μ)^{2} - n (x ˉ - μ)^{2}$ を使うと $E [s^{2}]$ が計算できる。

ヒント 3

$V [x ˉ] = \frac{σ ^{2} { 1 + ( n - 1 ) ρ }}{n}$ となる。これを使って $E [\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}] = n σ^{2} - nV [x ˉ]$ を整理する。

答えと解説

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\frac{1 + ( n - 1 ) ρ}{1 - ρ}

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解説を読む

平均値の分散 分散の性質より
$V [x ˉ] = \frac{1}{n ^{2}} V [i = 1 \sum n x_{i}] = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n V [x_{i}] + i \neq = j \sum Cov (x_{i}, x_{j}) .$
$i \neq = j$ の組（順序つき）は $n (n - 1)$ 個あるので
$V [x ˉ] = \frac{1}{n ^{2}} (n σ^{2} + n (n - 1) ρ σ^{2}) = \frac{σ ^{2} { 1 + ( n - 1 ) ρ }}{n} .$

不偏分散の期待値 $y_{i} = x_{i} - μ$ とおくと $E [y_{i}] = 0$ 、 $E [y_{i}^{2}] = σ^{2}$ であり、 $y ˉ = x ˉ - μ$ について $E [y ˉ^{2}] = V [x ˉ]$ である。偏差は $x_{i} - x ˉ = y_{i} - y ˉ$ なので
$i = 1 \sum n (x_{i} - x ˉ)^{2} = i = 1 \sum n y_{i}^{2} - n y ˉ^{2} .$
期待値をとると
$E [i = 1 \sum n (x_{i} - x ˉ)^{2}] = n σ^{2} - n \cdot \frac{σ ^{2} { 1 + ( n - 1 ) ρ }}{n} = σ^{2} {(n - 1) - (n - 1) ρ} = (n - 1) σ^{2} (1 - ρ) .$
よって
$E [s^{2}] = σ^{2} (1 - ρ), E [\frac{s ^{2}}{n}] = \frac{σ ^{2} ( 1 - ρ )}{n} .$
正の相関があると、共通のゆらぎは平均値を含めて全体を一緒に動かすので偏差には現れず、ばらつきが小さく見積もられる。

比
$R = \frac{σ ^{2} { 1 + ( n - 1 ) ρ } / n}{σ ^{2} ( 1 - ρ ) / n} = \frac{1 + ( n - 1 ) ρ}{1 - ρ} .$
$ρ = 0$ （独立）のとき $R = 1$ となり、通常の標準誤差の式が正しいことと一致する。 $ρ > 0$ では $R > 1$ で、独立と仮定した標準誤差は真の値を過小評価する。

別解

平均値の分散: $V [x ˉ] = \frac{1}{n ^{2}} [\sum_{i} V [x_{i}] + \sum_{i \neq = j} Cov (x_{i}, x_{j})] = \frac{1}{n ^{2}} [n σ^{2} + n (n - 1) ρ σ^{2}] = \frac{σ ^{2}}{n} {1 + (n - 1) ρ}$ 。
不偏分散の期待値: $\sum_{i} (x_{i} - x ˉ)^{2} = \sum_{i} x_{i}^{2} - n x ˉ^{2}$ 。 $E [x_{i}^{2}] = σ^{2} + μ^{2}$ 、 $E [x ˉ^{2}] = V [x ˉ] + μ^{2}$ より
$E [\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}] = n (σ^{2} + μ^{2}) - n (\frac{σ ^{2}}{n} {1 + (n - 1) ρ} + μ^{2}) = n σ^{2} - σ^{2} {1 + (n - 1) ρ} = (n - 1) σ^{2} (1 - ρ)$ 。
よって $E [s^{2}] = σ^{2} (1 - ρ)$ 、 $E [s^{2} / n] = \frac{σ ^{2} ( 1 - ρ )}{n}$ 。
比: $R = \frac{σ ^{2} { 1 + ( n - 1 ) ρ } / n}{σ ^{2} ( 1 - ρ ) / n} = \frac{1 + ( n - 1 ) ρ}{1 - ρ}$ 。
検算: $ρ = 0$ で $R = 1$ （独立のとき一致）。 $n = 2$ で直接計算: $V [x ˉ] = σ^{2} (1 + ρ) /2$ 、 $s^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} /2$ 、 $E [s^{2}] = σ^{2} (1 - ρ)$ 、比は $(1 + ρ) / (1 - ρ)$ で式と一致。

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