物理実験・誤差論の問題

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。

細い毛細管に水を流し、ポアズイユの法則
$$\eta =\frac{\pi r^4\Delta pt}{8VL}$$
から水の粘性率 $\eta$ を求める。ここで $r$ は毛細管の内半径、$L$ は毛細管の長さ、$V$ は時間 $t$ の間に流れ出た水の体積、$\Delta p$ は管の両端の圧力差である。各量は次のように求める。

• 内半径 $r$: 毛細管に水銀柱を入れ、その質量 $m$ と長さ $\ell$ を測り、$m={\rho }_{\mathrm{Hg}}\pi r^2\ell$ から求める。結果は $m=0.2000\pm 0.0010\mathrm{g}$、$\ell =7.50\pm 0.03\mathrm{cm}$。
• 圧力差 $\Delta p$: 上流側と下流側の水面の高さ $h_1$, $h_2$ を別々に読み取り、$\Delta p={\rho }_{\mathrm{w}}g(h_1-h_2)$ とする。結果は $h_1=25.0\pm 0.1\mathrm{cm}$、$h_2=15.0\pm 0.1\mathrm{cm}$。
• $t=200.0\pm 0.4\mathrm{s}$、$V=1.500\pm 0.006\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$、$L=20.00\pm 0.08\mathrm{cm}$。

$\pm$ の後は標準不確かさであり、$m,\ell ,h_1,h_2,t,V,L$ の誤差はすべて互いに独立な偶然誤差とする。水銀の密度 ${\rho }_{\mathrm{Hg}}$、水の密度 ${\rho }_{\mathrm{w}}$、重力加速度 $g$ の不確かさは無視でき、流れの間 $h_1-h_2$ は一定とみなす。誤差は十分小さく、1 次の誤差伝播の式が使えるとする。

$\eta$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_{\eta }/\eta$ を百分率（$\%$）で、有効数字 2 桁で求めよ。

金属棒の線膨張率 $\alpha$ を、次の式で求める。
$$\alpha =\frac{L_2-L_1}{L_1(T_2-T_1)}$$
ここで $L_1$, $L_2$ はそれぞれ温度 $T_1$, $T_2$ での棒の長さである。測定結果は次のとおりであった。
- $L_1=1.0000\text{m}$, $L_2=1.0012\text{m}$。長さはそれぞれ別々に測定し、どちらも標準不確かさは $u_L=2\times 10^{-5}\text{m}$ である。
- $T_1=20.0{}^{\circ }\text{C}$, $T_2=80.0{}^{\circ }\text{C}$。温度もそれぞれ別々に測定し、どちらも標準不確かさは $u_T=0.5\text{K}$ である。

4 つの測定値 $L_1$, $L_2$, $T_1$, $T_2$ の誤差は互いに独立であるとし、不確かさは 1 次の誤差伝播則（偏微分係数を用いて分散を足し合わせる方法）で求めるものとする。$\alpha$ の相対標準不確かさ $\frac{u(\alpha )}{\alpha }$ を有効数字 2 桁で求めよ。

抵抗値 $R$ が正確にわかっている抵抗器の両端の電圧 $V$ を、入力範囲が $0$ 〜 $V_{\mathrm{FS}}=10.24\mathrm{V}$ の $n$ ビット A/D 変換器（$n$ は正の整数）で 1 回だけ読み取り、消費電力を $P=V^2/R$ により求める。

この A/D 変換器は入力範囲を $2^n$ 等分した幅 $\Delta =V_{\mathrm{FS}}/2^n$（分解能）を単位として、入力電圧を最も近い段階の値に丸めて出力する。読み取り値に含まれる誤差は、この丸めによる量子化誤差のみとし、量子化誤差は区間 $[-\Delta /2,\Delta /2]$ で一様に分布するとみなす。また、誤差の伝播は 1 次の近似で扱う。

電圧がおよそ $V=2.00\mathrm{V}$ のとき、$P$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_P/P$ を $1.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要なビット数 $n$ の最小値を求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。