物理実験・誤差論の問題

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計で、一定の電圧 $V_0$（未知）を測定する。この電圧計は、入力電圧を $d$ の整数倍のうち最も近い値に丸めて表示する（ちょうど中間の値になる確率は $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自体の雑音は無視できる。

このままでは何回測っても同じ表示しか得られないので、各測定のたびに、区間 $\left[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\right]$ 上の一様分布に従う雑音電圧 $u$ を $V_0$ に加えてから測定する（ディザ法）。$u$ は測定ごとに独立とする。こうして得た $N$ 回の表示 $y_1,\dots ,y_N$ の平均 $\bar{y}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{y}_i$ で $V_0$ を推定する（$N$ は正の整数）。

$V_0$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.05\mathrm{mV}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

振り子の周期 $T$ を次の方法で測定する。最小表示（分解能）が $d=0.01\text{s}$ のデジタル時計を連続して動かしておき、振り子がある位置を通過した瞬間の表示 $t_1$ を読み、そこから $N$ 回振動して（$N$ は正の整数）同じ位置を同じ向きに通過した瞬間の表示 $t_2$ を読む。周期は $T=\frac{t_2-t_1}{N}$ として求める。

誤差の要因としては時計の分解能だけを考え（人の反応時間などによる誤差は考えない）、次のようにみなす。
- 1 回の読み取りの真の値は、表示値を中心とする幅 $d$ の区間に一様に分布するとし、その標準不確かさを $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ とする。
- $t_1$ と $t_2$ の読み取りの誤差は互いに独立である。

周期はおよそ $1.5\text{s}$ であり、相対標準不確かさ $\frac{u(T)}{T}$ の計算では $T=1.5\text{s}$ を用いる。$\frac{u(T)}{T}\le 5.0\times 10^{-5}$ となるような $N$ の最小値を求めよ。

ある励起状態の寿命 $\tau$ について、3 つの独立な実験から次の結果が得られた（単位は $\text{ns}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$${\tau }_1=19\pm 1,{\tau }_2=28\pm 2,{\tau }_3=16\pm 2$$
それぞれの測定値は真の値 $\tau$ のまわりに、与えられた標準不確かさ ${\sigma }_i$ を標準偏差とする正規分布に従うと仮定し、次の手順で 3 つの結果を 1 つにまとめる。

$(1)$ 重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ による重み付き平均 $\bar{\tau }=\frac{{\sum }_i{w}_i{\tau }_i}{{\sum }_i{w}_i}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{\tau }}=\frac{1}{\sqrt{{\sum }_i{w}_i}}$ を求める。

$(2)$ ${\chi }^2=\sum _i\frac{({\tau }_i-\bar{\tau }{)}^2}{{\sigma }_i^2}$ を計算し、自由度を $\nu =N-1$（$N=3$ はデータの個数）とする。${\chi }^2/\nu >1$ のときは、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{\tau }}$ に尺度因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/\nu }$ を掛けたもの $S{\sigma }_{\bar{\tau }}$ を最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/\nu \le 1$ のときは ${\sigma }_{\bar{\tau }}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる重み付き平均 $\bar{\tau }$ と最終的な標準不確かさを、$\text{ns}$ 単位の正確な値で、この順に組 $(\bar{\tau },\text{最終的な標準不確かさ})$ として求めよ。