物理実験・誤差論の問題

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。

抵抗値 $R$ が正確にわかっている抵抗器の両端の電圧 $V$ を、入力範囲が $0$ 〜 $V_{\mathrm{FS}}=10.24\mathrm{V}$ の $n$ ビット A/D 変換器（$n$ は正の整数）で 1 回だけ読み取り、消費電力を $P=V^2/R$ により求める。

この A/D 変換器は入力範囲を $2^n$ 等分した幅 $\Delta =V_{\mathrm{FS}}/2^n$（分解能）を単位として、入力電圧を最も近い段階の値に丸めて出力する。読み取り値に含まれる誤差は、この丸めによる量子化誤差のみとし、量子化誤差は区間 $[-\Delta /2,\Delta /2]$ で一様に分布するとみなす。また、誤差の伝播は 1 次の近似で扱う。

電圧がおよそ $V=2.00\mathrm{V}$ のとき、$P$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_P/P$ を $1.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要なビット数 $n$ の最小値を求めよ。

振り子の周期 $T$ を次の方法で測定する。最小表示（分解能）が $d=0.01\text{s}$ のデジタル時計を連続して動かしておき、振り子がある位置を通過した瞬間の表示 $t_1$ を読み、そこから $N$ 回振動して（$N$ は正の整数）同じ位置を同じ向きに通過した瞬間の表示 $t_2$ を読む。周期は $T=\frac{t_2-t_1}{N}$ として求める。

誤差の要因としては時計の分解能だけを考え（人の反応時間などによる誤差は考えない）、次のようにみなす。
- 1 回の読み取りの真の値は、表示値を中心とする幅 $d$ の区間に一様に分布するとし、その標準不確かさを $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ とする。
- $t_1$ と $t_2$ の読み取りの誤差は互いに独立である。

周期はおよそ $1.5\text{s}$ であり、相対標準不確かさ $\frac{u(T)}{T}$ の計算では $T=1.5\text{s}$ を用いる。$\frac{u(T)}{T}\le 5.0\times 10^{-5}$ となるような $N$ の最小値を求めよ。

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。