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物理実験・誤差論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理物理実験・誤差論

最小表示（分解能）が $d = 1 mV$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、 $d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（ $x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。 $V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、 $i$ 回目（ $i = 1, 2, \dots, n$ ）の測定では、区間 $[- d /2, d /2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_{i}$ を $V$ に加えた $V + U_{i}$ を電圧計に入力し、その表示を $y_{i}$ とする（ディザ法）。 $U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n}$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $y ˉ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ とする。 $V$ がどのような値であっても $y ˉ$ の標準偏差が $0.03 mV$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

この問題で使うもの

分解能による不確かさと有効数字（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$V = (k + f) d$ （ $k$ は整数、 $0 \leq f < 1$ ）とおき、入力 $V + U_{i}$ がどの値に丸められるかを場合分けして、1 回の表示がとりうる値とその確率を求めよう。

ヒント 2

表示は $k d$ と $(k + 1) d$ の 2 値をとり、それぞれの確率は $1 - f$ と $f$ になる。ここから期待値と分散 $Var [y_{i}]$ を計算する。

ヒント 3

$Var [y_{i}] = f (1 - f) d^{2}$ なので $Var [y ˉ] = f (1 - f) d^{2} / n$ となる。 $V$ が未知なので、 $f (1 - f)$ が最大になる場合を考えて不等式を立てる。

答えと解説

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278

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解説を読む

1 回の表示の分布

$V = (k + f) d$ （ $k$ は整数、 $0 \leq f < 1$ ）と書く。入力 $V + U_{i}$ は区間 $[(k + f - \frac{1}{2}) d, (k + f + \frac{1}{2}) d]$ 上に一様に分布する。この区間の中で丸めの境目になるのは $(k + \frac{1}{2}) d$ だけである。

$V + U_{i} < (k + \frac{1}{2}) d$ 、すなわち $U_{i} < (\frac{1}{2} - f) d$ のとき、表示は $k d$ になる。 $U_{i}$ は $- \frac{d}{2}$ から $(\frac{1}{2} - f) d$ までの幅 $(1 - f) d$ の範囲にあるので、その確率は $1 - f$ である。
それ以外のとき、表示は $(k + 1) d$ になる。その確率は $f$ である。

したがって、1 回の表示 $y_{i}$ の期待値と分散は次のようになる。
$E [y_{i}] = k d (1 - f) + (k + 1) df = (k + f) d = V$
$Var [y_{i}] = E [y_{i}^{2}] - E [y_{i}]^{2} = d^{2} [k^{2} (1 - f) + (k + 1)^{2} f - (k + f)^{2}] = f (1 - f) d^{2}$

ディザを加えると、表示の期待値は真の値 $V$ に一致する（偏りがない）。一方で、表示は $V$ に応じた分散 $f (1 - f) d^{2}$ をもつ。

平均の分散

$U_{i}$ が互いに独立なので $y_{i}$ も互いに独立であり、
$Var [y ˉ] = \frac{f ( 1 - f ) d ^{2}}{n}$
となる。

$V$ によらない保証

$f (1 - f)$ は $f = \frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。 $V$ は未知なので、この最悪の場合でも条件を満たす必要がある。
$\frac{d ^{2}}{4 n} \leq (0.03 mV)^{2}$
$d = 1 mV$ を代入すると、
$n \geq \frac{1}{4 \times 9 \times 1 0 ^{- 4}} = 277.7 \dots$
よって最小の $n$ は $278$ である。

（参考）ディザを加えない場合は、毎回同じ値が表示されるので平均の標準偏差は $0$ に見える。しかし、真の値からの偏りが最大 $d /2$ 残る。ディザ法は、この偏りを統計的なばらつきに変え、平均をとることでそのばらつきを小さくする方法である。

別解

$V / d = k + f$ （ $k$ は整数、 $0 \leq f < 1$ ）とおき、 $u_{i} = U_{i} / d$ は $[- 1/2, 1/2]$ 上の一様分布に従うとする。

表示は $y_{i} / d = round (k + f + u_{i})$ である。 $f + u_{i} \in [f - 1/2, f + 1/2] \subset [- 1/2, 3/2]$ なので、表示は次の 2 通りだけになる。
- $f + u_{i} < 1/2$ のとき $y_{i} / d = k$
- $f + u_{i} > 1/2$ のとき $y_{i} / d = k + 1$

$f + u_{i} > 1/2$ となる確率は $P (u_{i} > 1/2 - f) = f$ である。よって $y_{i} / d - k$ は成功確率 $f$ のベルヌーイ分布に従う。

平均は $E [y_{i}] = d (k + f) = V$ で不偏である。分散は $Var (y_{i}) = d^{2} f (1 - f)$ で、 $f = 1/2$ のとき最大値 $d^{2} /4$ をとる。

$y_{i}$ は独立なので $Var (y ˉ) = d^{2} f (1 - f) / n \leq d^{2} / (4 n)$ である。標準偏差の最大値は $d / (2 n) = 0.5/ n mV$ となる。

条件 $0.5/ n \leq 0.03$ より $n \geq 16.67$ 、すなわち $n \geq 277.8$ である。

検算： $n = 277$ では $0.5/ 277 = 0.03004 > 0.03$ で不適。 $n = 278$ では $0.5/ 278 = 0.029987 \leq 0.03$ で条件を満たす。

したがって最小の $n$ は 278。

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