物理実験・誤差論の問題

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 ${\sigma }_R=0.020\Omega$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R=a+bt$ で表されるとして、最小二乗法により $a$, $b$ を決める。

切片 $a$（$t=0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 ${\sigma }_a$ を、$\Omega$ 単位で求め、$(a,{\sigma }_a)$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、${\sigma }_a$ は ${\sigma }_R$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。

容積を一定に保った容器に気体を閉じこめ、温度 $t$ を変えながら気体の圧力 $p$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の誤差は無視でき、圧力の測定値の誤差は互いに独立で、どの点でも等しい大きさ（未知）であるとする。この 5 点に直線 $p=a+bt$ を最小二乗法で当てはめる。圧力の誤差の大きさを残差から
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(p_i-a-b{t}_i{)}^2(n=5)$$
と推定するとき、傾き $b$ の標準誤差は何 $kPa/{}^{\circ }\mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

光電効果の実験で、照射する光の振動数 $\nu$ を変えながら阻止電圧 $V$ を測定し、次の結果を得た。

振動数 $\nu$ の誤差は無視でき、各 $V$ の測定誤差は互いに独立で、標準偏差は共通の値 $\sigma$（未知）とする。データに直線 $V=a+b\nu$ を（重みなしの）最小二乗法で当てはめ、$\sigma$ は残差の二乗和 $S_r$ から ${\sigma }^2\approx S_r/(n-2)$（$n$ はデータ数）として推定する。

限界振動数を ${\nu }_0=-a/b$ と定義する。$a$ と $b$ の間の相関（共分散）も考慮し、誤差伝播の 1 次近似によって ${\nu }_0$ の標準不確かさ ${\sigma }_{{\nu }_0}$ を求めよ。答えは $10^{14}\mathrm{Hz}$ を単位とする数値で、有効数字 2 桁で答えよ。

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

ある抵抗器の抵抗値 $R$ を、同じ条件のもとでデジタルマルチメーターで 6 回測定したところ、次の値（単位は $\Omega$）が得られた。
$$100.4,99.8,100.1,100.5,99.7,99.5$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、1 回の測定値の標準偏差は、この 6 回の測定値から求めた標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）$s$ で見積もる。また、測定回数を増やしても 1 回の測定値の標準偏差は $s$ のまま変わらないものとする。

この 6 回にさらに $k$ 回（$k$ は 0 以上の整数）の測定を追加し、合計 $6+k$ 回の測定値の平均を $R$ の測定値とする。平均の標準誤差 $s/\sqrt{6+k}$ を $0.06\Omega$ 以下にするために必要な追加の測定回数 $k$ の最小値を求めよ。