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物理実験・誤差論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理物理実験・誤差論

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

$t [^{\circ} C]$	$0$	$20$	$40$	$60$	$80$
$R [Ω]$	$10.02$	$10.79$	$11.62$	$12.39$	$13.18$

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、 $R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 $σ_{R} = 0.020 Ω$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R = a + b t$ で表されるとして、最小二乗法により $a$ , $b$ を決める。

切片 $a$ （ $t = 0^{\circ} C$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 $σ_{a}$ を、 $Ω$ 単位で求め、 $(a, σ_{a})$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、 $σ_{a}$ は $σ_{R}$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。

この問題で使うもの

最小二乗法と回帰直線（説明と入口の問題）
直線フィットの傾き・切片の誤差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

最小二乗法の公式 $b = S_{tR} / S_{tt}$ 、 $a = R ˉ - b t ˉ$ を使う。まず $t ˉ$ と $R ˉ$ を計算する。

ヒント 2

切片の標準誤差は $σ_{a} = σ_{R} \frac{\sum t _{i}^{2}}{N \sum t _{i}^{2} - ( \sum t _{i} ) ^{2}}$ で与えられる。

ヒント 3

$t ˉ = 40$ 、 $R ˉ = 11.600$ 、 $S_{tt} = 4000$ 、 $S_{tR} = 158.4$ となる。また $\sum t_{i} = 200$ 、 $\sum t_{i}^{2} = 12000$ である。

答えと解説

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(10.016, 0.015)

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解説を読む

最小二乗法の式 データ点の数を $N = 5$ とし、 $t ˉ = \frac{1}{N} \sum t_{i}$ 、 $R ˉ = \frac{1}{N} \sum R_{i}$ 、
$S_{tt} = i \sum (t_{i} - t ˉ)^{2}, S_{tR} = i \sum (t_{i} - t ˉ) (R_{i} - R ˉ)$
とおくと、残差の 2 乗和 $\sum (R_{i} - a - b t_{i})^{2}$ を最小にする $a$ , $b$ は
$b = \frac{S _{tR}}{S _{tt}}, a = R ˉ - b t ˉ$
である。誤差が $R$ のみにあり、すべて等しい標準偏差をもつので、重みなしの最小二乗法を使ってよい。

平均
$t ˉ = \frac{0 + 20 + 40 + 60 + 80}{5} = 40, R ˉ = \frac{10.02 + 10.79 + 11.62 + 12.39 + 13.18}{5} = \frac{58.00}{5} = 11.600.$

$S_{tt}$ , $S_{tR}$ $t_{i} - t ˉ = - 40, - 20, 0, 20, 40$ 、 $R_{i} - R ˉ = - 1.58, - 0.81, 0.02, 0.79, 1.58$ より
$S_{tt} = 1600 + 400 + 0 + 400 + 1600 = 4000,$
$S_{tR} = (- 40) (- 1.58) + (- 20) (- 0.81) + 0 \times 0.02 + 20 \times 0.79 + 40 \times 1.58 = 63.2 + 16.2 + 0 + 15.8 + 63.2 = 158.4.$

傾きと切片
$b = \frac{158.4}{4000} = 0.0396 Ω/^{\circ} C, a = 11.600 - 0.0396 \times 40 = 11.600 - 1.584 = 10.016 Ω.$

切片の標準誤差 $a$ は $R_{i}$ の 1 次式なので、各 $R_{i}$ が独立で標準偏差 $σ_{R}$ をもつことから誤差伝播により
$σ_{a} = σ_{R} \frac{\sum t _{i}^{2}}{N \sum t _{i}^{2} - ( \sum t _{i} ) ^{2}}$
となる。 $\sum t_{i} = 200$ 、 $\sum t_{i}^{2} = 0 + 400 + 1600 + 3600 + 6400 = 12000$ より
$N \sum t_{i}^{2} - (\sum t_{i})^{2} = 5 \times 12000 - 20 0^{2} = 20000,$
$σ_{a} = 0.020 \times \frac{12000}{20000} = 0.020 \times 0.6 \approx 0.020 \times 0.7746 = 0.01549 \approx 0.015 Ω.$

よって $(a, σ_{a}) = (10.016, 0.015)$ 。

別解

データ数 $N = 5$ 。 $t ˉ = 40$ 、 $R ˉ = 58.00/5 = 11.60$ 。
$S_{tt} = \sum (t_{i} - t ˉ)^{2} = 1600 + 400 + 0 + 400 + 1600 = 4000$ 。
$S_{tR} = \sum (t_{i} - t ˉ) R_{i} = (- 40) (10.02) + (- 20) (10.79) + 0 + 20 (12.39) + 40 (13.18) = - 400.8 - 215.8 + 247.8 + 527.2 = 158.4$ 。
傾き $b = S_{tR} / S_{tt} = 158.4/4000 = 0.0396 Ω /^{\circ} C$ 。
切片 $a = R ˉ - b t ˉ = 11.60 - 0.0396 \times 40 = 11.60 - 1.584 = 10.016 Ω$ 。
切片の標準誤差（誤差伝播）: $a = \sum c_{i} R_{i}$ 、 $c_{i} = \frac{1}{N} - \frac{t ˉ ( t _{i} - t ˉ )}{S _{tt}}$ より $σ_{a}^{2} = σ_{R}^{2} (\frac{1}{N} + \frac{t ˉ ^{2}}{S _{tt}}) = σ_{R}^{2} (0.2 + \frac{1600}{4000}) = 0.6 σ_{R}^{2}$ 。
$σ_{a} = 0.020 \times 0.6 = 0.020 \times 0.7746 = 0.01549 \approx 0.015 Ω$ 。
検算: $c_{i} = 0.2 - 0.01 (t_{i} - 40)$ は $0.6, 0.4, 0.2, 0, - 0.2$ ではなく $t = 0, 20, 40, 60, 80$ で $0.6, 0.4, 0.2, 0.0, - 0.2$ 。ただし $c_{i} = 0.2 - \frac{40 ( t _{i} - 40 )}{4000} = 0.2 - 0.01 (t_{i} - 40)$ なので $t_{i} = 0$ で $0.6$ 、 $20$ で $0.4$ 、 $40$ で $0.2$ 、 $60$ で $0.0$ 、 $80$ で $- 0.2$ 。 $\sum c_{i} = 1$ 、 $\sum c_{i}^{2} = 0.36 + 0.16 + 0.04 + 0 + 0.04 = 0.60$ で一致。また $\sum c_{i} R_{i} = 0.6 \times 10.02 + 0.4 \times 10.79 + 0.2 \times 11.62 + 0 - 0.2 \times 13.18 = 6.012 + 4.316 + 2.324 - 2.636 = 10.016$ で $a$ と一致。

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