物理実験・誤差論の問題

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 ${\sigma }_R=0.020\Omega$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R=a+bt$ で表されるとして、最小二乗法により $a$, $b$ を決める。

切片 $a$（$t=0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 ${\sigma }_a$ を、$\Omega$ 単位で求め、$(a,{\sigma }_a)$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、${\sigma }_a$ は ${\sigma }_R$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。

一定の速さで動く台車の位置 $y$（単位 cm）を、時刻 $x$（単位 s）ごとに測定して次の $5$ 組のデータを得た。

このデータに最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめると、$a=1.0$、$b=2.0$ となる。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差はどの点でも同じ大きさとする。

残差 $r_i=y_i-(a+b{x}_i)$ から $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}$（$n$ はデータの組の数）を推定し、傾きの標準誤差を ${\sigma }_b=\frac{\sigma }{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$ で求めるものとする。

傾き $b$ の標準誤差 ${\sigma }_b$ は何 cm/s か。根号を用いた正確な値で答えよ。

金属線の電気抵抗 $R$ を、温度 $T$ を変えながら測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $T$ の誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、等しい（未知の）標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。$R=a+bT$ の直線を最小二乗法（重みなし）で当てはめ、$\sigma$ は残差の 2 乗和を（データ点の数）$-2$ で割った値の平方根で見積もる。

このとき、$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値である切片 $a$ の標準誤差は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

容積を一定に保った容器に気体を閉じこめ、温度 $t$ を変えながら気体の圧力 $p$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の誤差は無視でき、圧力の測定値の誤差は互いに独立で、どの点でも等しい大きさ（未知）であるとする。この 5 点に直線 $p=a+bt$ を最小二乗法で当てはめる。圧力の誤差の大きさを残差から
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(p_i-a-b{t}_i{)}^2(n=5)$$
と推定するとき、傾き $b$ の標準誤差は何 $kPa/{}^{\circ }\mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。